Primeri, kako določiti omejenost funkcije. Lastnosti funkcij - Hipermarket znanja

1) Obseg funkcij in obseg funkcij.

Obseg funkcije je nabor vseh veljavnih veljavnih vrednosti argumenta x(spremenljivka x), za katero je funkcija y = f(x) definiran. Območje funkcije je množica vseh realnih vrednosti l ki jih funkcija sprejme.

V osnovni matematiki se funkcije preučujejo le na množici realnih števil.

2) Funkcijske ničle.

Nič funkcije je vrednost argumenta, pri kateri je vrednost funkcije enaka nič.

3) Intervali konstantnosti predznaka funkcije.

Intervali konstantnega predznaka funkcije so takšni nizi vrednosti argumentov, na katerih so vrednosti funkcije samo pozitivne ali samo negativne.

4) Monotonost funkcije.

Naraščajoča funkcija (v nekem intervalu) - funkcija, pri kateri večja vrednost argumenta iz tega intervala ustreza večji vrednosti funkcije.

Padajoča funkcija (v nekem intervalu) - funkcija, pri kateri večja vrednost argumenta iz tega intervala ustreza manjši vrednosti funkcije.

5) Sode (lihe) funkcije.

Soda funkcija je funkcija, katere domena definicije je simetrična glede na izvor in za poljubno X s področja definicije enakost f(-x) = f(x). Graf sode funkcije je simetričen glede na os y.

Liha funkcija je funkcija, katere domena definicije je simetrična glede na izvor in za poljubno X s področja definicije enakost f(-x) = - f(x). Graf lihe funkcije je simetričen glede na izvor.

6) Omejene in neomejene funkcije.

Funkcija se imenuje omejena, če obstaja pozitivno število M, tako da velja |f(x)| ≤ M za vse vrednosti x. Če takega števila ni, je funkcija neomejena.

7) Periodičnost funkcije.

Funkcija f(x) je periodična, če obstaja neničelno število T, tako da za vsak x iz domene funkcije velja f(x+T) = f(x). To najmanjše število imenujemo perioda funkcije. Vse trigonometrične funkcije so periodične. (Trigonometrične formule).

19. Osnovne elementarne funkcije, njihove lastnosti in grafi. Uporaba funkcij v gospodarstvu.

Osnovne elementarne funkcije. Njihove lastnosti in grafi

1. Linearna funkcija.

Linearna funkcija se imenuje funkcija oblike , kjer je x spremenljivka, in b sta realna števila.

številka A imenovan naklon ravne črte, je enak tangensu naklonskega kota te ravne črte na pozitivno smer osi x. Graf linearne funkcije je ravna črta. Opredeljujeta ga dve točki.

Lastnosti linearne funkcije

1. Domena definicije - množica vseh realnih števil: D (y) \u003d R

2. Množica vrednosti je množica vseh realnih števil: E(y)=R

3. Funkcija zavzame vrednost nič za oz.

4. Funkcija narašča (pada) na celotnem področju definicije.

5. Linearna funkcija je zvezna na celotnem definicijskem področju, diferenciabilna in .

2. Kvadratna funkcija.

Funkcija oblike, kjer je x spremenljivka, koeficienti a, b, c realna števila, se imenuje kvadratni.

kvote a, b, c določite lokacijo grafa na koordinatni ravnini

Koeficient a določa smer vej. Graf kvadratne funkcije je parabola. Koordinate vrha parabole najdemo po formulah:

Lastnosti funkcije:

2. Niz vrednosti enega od intervalov: ali.

3. Funkcija sprejme ničelne vrednosti, ko , kjer se diskriminanta izračuna po formuli:.

4. Funkcija je zvezna v celotnem definicijskem področju in odvod funkcije je enak .

Lekcija in predstavitev na temo: "Lastnosti funkcije. Povečanje in zmanjšanje funkcije"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, povratnih informacij, predlogov! Vsa gradiva so preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini "Integral" za 9. razred
Interaktivni učni priročnik za 9. razred "Pravila in vaje v geometriji"
Elektronski učbenik "Razumljiva geometrija" za 7.-9

Fantje, nadaljujemo s preučevanjem numeričnih funkcij. Danes se bomo osredotočili na temo, kot so lastnosti funkcij. Funkcije imajo številne lastnosti. Spomnite se, katere lastnosti smo nedavno preučevali. Tako je, obseg in obseg sta ena ključnih lastnosti. Nikoli ne pozabite nanje in ne pozabite, da ima funkcija vedno te lastnosti.

V tem razdelku bomo definirali nekatere lastnosti funkcij. Vrstni red, v katerem jih bomo določili, priporočam, da se držite pri reševanju problemov.

Funkcija naraščajoče in padajoče

Prva lastnost, ki jo bomo definirali, je naraščanje in padanje funkcije.

Funkcija se imenuje naraščajoča na množici X⊂D(f), če je za katerikoli x1 in x2 tako, da x1< x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
Funkcija se imenuje padajoča na množici X⊂D(f), če je za katerikoli x1 in x2 tako, da x1< x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). To pomeni, da večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije.

Koncepta "povečanje" in "zmanjšanje" funkcije je zelo enostavno razumeti, če pozorno pogledate grafe funkcije. Za naraščajočo funkcijo: gremo nekako navzgor po hribu, za padajočo funkcijo se spuščamo. Splošen pogled na naraščajoče in padajoče funkcije je predstavljen v spodnjih grafih.

Povečanje in upadanje funkcije na splošno imenujemo monotonost. To pomeni, da je naša naloga najti intervale padajočih in naraščajočih funkcij. V splošnem primeru je to formulirano takole: poiščite intervale monotonosti ali preglejte funkcijo za monotonost.

Raziščite monotonost funkcije $y=3x+2$.
Rešitev: Preverite funkcijo za poljubna x1 in x2 ter pustite x1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Ker x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Omejitev delovanja

Za funkcijo $y=f(x)$ pravimo, da je omejena od spodaj na množici X⊂D(f), če obstaja število a, tako da za vsak xϵX velja neenakost f(x)< a.

Za funkcijo $y=f(x)$ pravimo, da je omejena od zgoraj na množici X⊂D(f), če obstaja število a, tako da za vsak xϵX velja neenakost f(x)< a.

Če interval X ni naveden, se šteje, da je funkcija omejena na celotno domeno definicije. Funkcija, ki je omejena zgoraj in spodaj, se imenuje omejena.

Omejitev funkcije je enostavno razbrati z grafa. Možno je narisati ravno črto
$y=a$, in če je funkcija višje od te premice, je omejena od spodaj. Če spodaj, potem zgoraj. Spodaj je graf spodnje omejene funkcije. Graf omejene funkcije, fantje, poskusite ga narisati sami.

Raziščite omejenost funkcije $y=\sqrt(16-x^2)$.
Rešitev: Kvadratni koren nekega števila je večji ali enak nič. Očitno je tudi naša funkcija večja ali enaka nič, se pravi, da je omejena od spodaj.
Kvadratni koren lahko izluščimo samo iz nenegativnega števila, potem je $16-x^2≥0$.
Rešitev naše neenakosti bo interval [-4;4]. Na tem segmentu $16-x^2≤16$ ali $\sqrt(16-x^2)≤4$, vendar to pomeni omejenost od zgoraj.
Odgovor: naša funkcija je omejena z dvema premicama $y=0$ in $y=4$.

Najvišja in najnižja vrednost

Najmanjša vrednost funkcije y= f(x) na množici Х⊂D(f) je neko število m, tako da velja:

b) Za vsak xϵX velja $f(x)≥f(x0)$.

Največja vrednost funkcije y=f(x) na množici Х⊂D(f) je neko število m, tako da:
a) Obstaja nekaj x0, tako da je $f(x0)=m$.
b) Za vsak xϵX je izpolnjeno $f(x)≤f(x0)$.

Največja in najmanjša vrednost je običajno označena z y max. in y ime. .

Pojma omejenosti in največje z najmanjšo vrednostjo funkcije sta tesno povezana. Naslednje trditve so resnične:
a) Če obstaja najmanjša vrednost za funkcijo, potem je omejena od spodaj.
b) Če obstaja največja vrednost za funkcijo, potem je omejena od zgoraj.
c) Če funkcija ni omejena od zgoraj, največje vrednosti ni.
d) Če funkcija spodaj ni omejena, potem najmanjša vrednost ne obstaja.

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Rešitev: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
Za $x=4$ $f(4)=5$ za vse druge vrednosti funkcija zavzame manjše vrednosti ali pa ne obstaja, to je največja vrednost funkcije.
Po definiciji: $9-4x^2+16x≥0$. Poiščite korenine kvadratnega trinoma $(2x+1)(2x-9)≥0$. Pri $x=-0,5$ in $x=4,5$ funkcija izgine, v vseh drugih točkah pa je večja od nič. Potem je po definiciji najmanjša vrednost funkcije nič.
Odgovor: y max. =5 in y min. =0.

Fantje, preučevali smo tudi koncepte konveksnosti funkcije. Pri reševanju nekaterih problemov bomo morda potrebovali to lastnost. To lastnost je enostavno določiti tudi z uporabo grafov.

Funkcija je konveksna navzdol, če sta katerikoli dve točki grafa prvotne funkcije povezani, graf funkcije pa je pod črto, ki povezuje točki.

Funkcija je konveksna navzgor, če sta kateri koli točki grafa prvotne funkcije povezani, graf funkcije pa je nad premico, ki povezuje točki.

Funkcija je zvezna, če graf naše funkcije nima prekinitev, kot je zgornji graf funkcije.

Če želite najti lastnosti funkcije, je zaporedje iskanja lastnosti naslednje:
a) Domena definicije.
b) Monotonost.
c) omejitev.
d) Največja in najmanjša vrednost.
e) Kontinuiteta.
f) Razpon vrednosti.

Poiščite lastnosti funkcije $y=-2x+5$.
rešitev.
a) Domena definicije D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotonost. Preverimo morebitne vrednosti x1 in x2 in pustimo x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Ker x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) omejitev. Očitno funkcija ni omejena.
d) Največja in najmanjša vrednost. Ker funkcija ni omejena, ni največje ali najmanjše vrednosti.
e) Kontinuiteta. Graf naše funkcije nima vrzeli, potem je funkcija zvezna.
f) Razpon vrednosti. E(y)=(-∞;+∞).

Naloge o lastnostih funkcije za samostojno reševanje

Poiščite lastnosti funkcije:
a) $y=2x+7$,
b) $y=3x^2$,
c) $y=\frac(4)(x)$.

Funkcijo y=f(x) bomo imenovali OMEJENA GOR (SPODAJ) na množici A iz področja D(f), če obstaja takšno število M , da je za vsak x iz tega nastavljen pogoj

Z uporabo logičnih simbolov lahko definicijo zapišemo kot:

f(x) – omejena od zgoraj na nizu

(f(x) – omejena od spodaj na nizu

Upoštevane so tudi funkcije, omejene na absolutno vrednost ali preprosto omejene.

Poklicali bomo funkcijo OMEJENO na množico A iz definicijskega področja, če obstaja pozitivno število M tako, da

V jeziku logičnih simbolov

f(x) – omejeno na set

Funkcija, ki ni omejena, se imenuje neomejena. Vemo, da imajo definicije, podane z zanikanjem, malo vsebine. Da bi to trditev oblikovali kot definicijo, uporabimo lastnosti kvantifikatorskih operacij (3.6) in (3.7). Potem bo zanikanje omejenosti funkcije v jeziku logičnih simbolov dalo:

f(x) – omejeno na set

Dobljeni rezultat nam omogoča, da oblikujemo naslednjo definicijo.

Funkcijo imenujemo NEOMEJENA na množici A, ki pripada domeni funkcije, če je na tej množici za poljubno pozitivno število M takšna vrednost argumenta x , da bo vrednost še vedno presegla vrednost M, to je .

Kot primer razmislite o funkciji

Določen je na celotni realni osi. Če vzamemo segment [–2;1] (množica A), potem bo na njem omejen tako od zgoraj kot od spodaj.

Da bi dokazali, da je omejen od zgoraj, moramo dejansko upoštevati predikat

in pokažite, da obstaja (obstaja) M tako, da bo za vse x na odseku [–2;1] veljalo

Takega M ni težko najti. Predpostavimo lahko, da je M = 7, kvantifikator obstoja implicira iskanje vsaj ene vrednosti M. Prisotnost takega M potrjuje dejstvo, da je funkcija na segmentu [–2;1] omejena od zgoraj.

Da bi dokazali njegovo omejenost od spodaj, moramo upoštevati predikat

Vrednost M, ki zagotavlja resničnost tega predikata, je na primer M = -100.

Dokaže se lahko, da bo funkcija omejena tudi modulo: za vse x iz segmenta [–2;1] vrednosti funkcije sovpadajo z vrednostmi , zato lahko kot M vzamemo , na primer prejšnja vrednost M = 7.

Pokažimo, da bo ista funkcija, vendar na intervalu , neomejena, to je

Da pokažemo, da tak x obstaja, razmislimo o izjavi

Če iščemo zahtevane vrednosti x med pozitivnimi vrednostmi argumenta, dobimo

To pomeni, da ne glede na pozitiven M vzamemo vrednosti x, ki zagotavljajo izpolnitev neenakosti

dobimo iz razmerja.

Ob upoštevanju funkcije na celotni realni osi lahko pokažemo, da je neomejena v absolutni vrednosti.

Dejansko iz neenakosti

To pomeni, ne glede na to, kako velik je pozitivni M ali bo zagotovil izpolnitev neenakosti.

EKSTREMNA FUNKCIONALNOST.

Funkcija ima v točki z lokalni maksimum (minimum), če obstaja taka okolica te točke, da za x¹ z ta soseska zadošča neenakosti

predvsem to, da je ekstremna točka lahko le notranja točka vrzeli in mora biti v njej definirana f(x). Možni primeri odsotnosti ekstrema so prikazani na sl. 8.8.

Če funkcija narašča (zmanjšuje) na nekem intervalu in pada (narašča) na nekem intervalu, potem točka z je lokalna največja (minimalna) točka.

Odsotnost maksimuma funkcije f(x) v točki z lahko formuliramo takole:

_______________________

f(x) ima maksimum pri c

To pomeni, da če točka c ni lokalna maksimalna točka, potem ne glede na sosesko, ki vključuje točko c kot notranjo, obstaja vsaj ena vrednost x, ki ni enaka c, za katero . Torej, če v točki c ni maksimuma, potem na tej točki morda sploh ni ekstremuma ali pa je to točka minimuma (slika 8.9).

Koncept ekstrema daje primerjalno oceno vrednosti funkcije na kateri koli točki glede na bližnje funkcije. Podobno primerjavo funkcijskih vrednosti je mogoče narediti za vse točke nekega intervala.

NAJVEČJA (MINIMALNA) vrednost funkcije na množici je njena vrednost v točki iz te množice, tako da – za . Največjo vrednost funkcija doseže na notranji točki segmenta , najmanjšo pa – na njegovem levem koncu.

Za določitev največje (najmanjše) vrednosti funkcije, podane na segmentu, je treba izbrati največje (najmanjše) število med vsemi vrednostmi njegovih maksimumov (minimumov), kot tudi vrednosti, vzete pri koncih intervala. To bo največja (najmanjša) vrednost funkcije. To pravilo bo določeno kasneje.

Problema iskanja največje in najmanjše vrednosti funkcije na odprtem intervalu ni vedno enostavno rešiti. Na primer funkcija

v intervalu (sl. 8.11) jih nima.

Prepričajmo se na primer, da ta funkcija nima največje vrednosti. Dejansko je glede na monotonost funkcije mogoče trditi, da ne glede na to, kako blizu vrednosti x nastavimo levo od enote, bodo obstajali drugi x, v katerih bodo vrednosti funkcije večje od njegove vrednosti na danih fiksnih točkah, vendar še vedno manj kot enota.

Upoštevajte, da vse definicije vključujejo numerično množico X, ki je del domene funkcije: X z D(f). V praksi se najpogosteje pojavljajo primeri, ko je X numerični interval (segment, interval, žarek itd.).

Definicija 1.

Funkcija y \u003d f (x) se imenuje naraščajoča na množici X z D (f), če za kateri koli dve točki x 1 in x 2 množice X, tako da je x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

Definicija 2.

Funkcija y \u003d f (x) se imenuje padajoča na množici X z D (f), če je za katero koli monotonost dveh točk x 1 in x 2 množice X, tako da x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x2).

V praksi je bolj priročno uporabiti naslednje formulacije: funkcija se poveča, če večja vrednost argumenta ustreza večji vrednosti funkcije; funkcija je padajoča, če večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije.

V 7. in 8. razredu smo uporabili naslednjo geometrijsko interpretacijo pojmov naraščajoče ali padajoče funkcije: s premikanjem po grafu naraščajoče funkcije od leve proti desni se nekako vzpenjamo v hrib (slika 55); premikanje po grafu padajoče funkcije od leve proti desni, kot bi se spuščali po hribu (slika 56).
Običajno so izrazi "naraščajoča funkcija", "padajoča funkcija" združeni s skupnim imenom monotona funkcija, študija funkcije za naraščanje ali padanje pa se imenuje študija funkcije za monotonost.

Opozarjamo še na eno okoliščino: če funkcija narašča (ali pada) v svoji naravni domeni, potem običajno rečemo, da funkcija narašča (ali pada) - brez podajanja številskega niza X.

Primer 1

Preglejte funkcijo glede monotonosti:

A) y \u003d x 3 + 2; b) y \u003d 5 - 2x.

rešitev:

a) Vzemite poljubni vrednosti argumenta x 1 in x 2 in pustite x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Zadnja neenakost pomeni, da je f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Torej od x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), kar pomeni, da je dana funkcija padajoča (na celotni številski premici).

Definicija 3.

Funkcija y - f (x) se imenuje omejena od spodaj na množici X z D (f), če so vse vrednosti funkcije na množici X večje od določenega števila (z drugimi besedami, če obstaja število m tako, da za katero koli vrednost x є X velja neenakost f( x) >m).

Definicija 4.

Funkcija y \u003d f (x) se imenuje omejena od zgoraj na množici X z D (f), če so vse vrednosti funkcije manjše od določenega števila (z drugimi besedami, če obstaja število M, tako da za katero koli vrednost x є X neenakost f (x)< М).

Če množica X ni podana, se predpostavlja, da je funkcija omejena od spodaj ali od zgoraj v celotnem domeni definicije.

Če je funkcija omejena od spodaj in od zgoraj, se imenuje omejena.

Omejenost funkcije je enostavno prebrati iz njenega grafa: če je funkcija omejena od spodaj, potem je njen graf v celoti nameščen nad vodoravno črto y \u003d m (slika 57); če je funkcija omejena od zgoraj, se njen graf v celoti nahaja pod neko vodoravno črto y \u003d M (slika 58).

Primer 2 Raziščite funkcijo za omejenost
rešitev. Po eni strani je neenakost precej očitna (po definiciji kvadratni koren To pomeni, da je funkcija omejena od spodaj. Po drugi strani pa imamo in zato
To pomeni, da je funkcija omejena od zgoraj. Zdaj pa si oglejte graf dane funkcije (slika 52 iz prejšnjega odstavka). Omejenost funkcije tako od zgoraj kot od spodaj je precej enostavno razbrati z grafa.

Definicija 5.

Število m se imenuje najmanjša vrednost funkcije y \u003d f (x) na množici X C D (f), če:

1) v X obstaja taka točka x 0, da je f(x 0) = m;

2) za vse x iz X je izpolnjena neenakost m>f(х 0).

Opredelitev 6.

Število M se imenuje največja vrednost funkcije y \u003d f (x) na množici X C D (f), če:
1) v X je taka točka x 0, da je f(x 0) = M;
2) za vse x iz X neenakost
Najmanjšo vrednost funkcije smo tako v 7. kot 8. razredu označevali s simbolom y, največjo vrednost pa s simbolom y.

Če množica X ni določena, potem se razume, da govorimo o iskanju najmanjše ali največje vrednosti funkcije v celotnem domeni definicije.

Naslednje koristne izjave so povsem očitne:

1) Če ima funkcija Y, potem je omejena od spodaj.
2) Če ima funkcija Y, potem je omejena od zgoraj.
3) Če funkcija ni omejena od spodaj, potem Y ne obstaja.
4) Če funkcija ni omejena od zgoraj, potem Y ne obstaja.

Primer 3

Poiščite najmanjšo in največjo vrednost funkcije
rešitev.

Povsem očitno je, zlasti če se zatečete k grafu funkcije (slika 52), da je = 0 (funkcija doseže to vrednost v točkah x = -3 in x = 3), a = 3 (funkcija doseže to vrednost v točki x = 0.
V 7. in 8. razredu smo omenili še dve lastnosti funkcij. Prvo so imenovali lastnost konveksnosti funkcije. Šteje se, da je funkcija konveksna navzdol na intervalu X, če s povezavo poljubnih dveh točk njenega grafa (z abscisami iz X) z ravnim odsekom ugotovimo, da ustrezen del grafa leži pod narisanim odsekom ( Slika 59). zveznost Funkcija je konveksna navzgor na intervalu X, če s povezavo dveh točk njenega grafa (z abscisama iz X) z ravnim odsekom ugotovimo, da pripadajoči del grafa leži nad narisanim odsekom (slika 60). ).

Druga lastnost - zveznost funkcije na intervalu X - pomeni, da je graf funkcije na intervalu X zvezen, tj. nima lukenj in skokov.

Komentiraj.

Pravzaprav je v matematiki vse, kot pravijo, "ravno nasprotno": graf funkcije je prikazan kot polna črta (brez lukenj in skokov) le, če je dokazana kontinuiteta funkcije. Toda formalna definicija kontinuitete funkcije, ki je precej kompleksna in subtilna, še ni v naših močeh. Enako lahko rečemo za konveksnost funkcije. Pri razpravi o teh dveh lastnostih funkcij se bomo še naprej zanašali na vizualno-intuitivne predstavitve.

Zdaj pa preverimo svoje znanje. Če se spomnimo funkcij, ki smo jih preučevali v 7. in 8. razredu, bomo razjasnili, kako izgledajo njihovi grafi, in navedli lastnosti funkcije, ki se držijo določenega vrstnega reda, na primer: domena definicije; monoton; omejitev; , ; kontinuiteta; razpon vrednosti; konveksen.

Nato se bodo pojavile nove lastnosti funkcij, seznam lastnosti pa se bo ustrezno spremenil.

1. Konstantna funkcija y \u003d C

Graf funkcije y \u003d C je prikazan na sl. 61 - ravna črta, vzporedna z osjo x. To je tako nezanimiva funkcija, da njenih lastnosti nima smisla navajati.

Graf funkcije y \u003d kx + m je ravna črta (sl. 62, 63).

Lastnosti funkcije y \u003d kx + m:

1)
2) narašča, če je k > 0 (slika 62), zmanjšuje, če je k< 0 (рис. 63);

4) ni niti največje niti najmanjše vrednosti;
5) funkcija je zvezna;
6)
7) o konveksnosti nima smisla govoriti.

Graf funkcije y \u003d kx 2 je parabola z vrhom na začetku in z vejami, usmerjenimi navzgor, če je k\u003e O (slika 64), in navzdol, če je k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Lastnosti funkcije y - kx 2:

Za primer k > 0 (slika 64):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = ne obstaja;
5) neprekinjeno;
6) Е(f) = funkcija pada, na intervalu pa pada na žarku;
7) konveksno navzgor.

Graf funkcije y \u003d f (x) je zgrajen točko za točko; več točk oblike (x; f (x)) vzamemo, bolj natančno predstavo o grafu dobimo. Če vzamemo veliko teh točk, bo ideja o grafu popolnejša. V tem primeru nam intuicija pove, da je treba graf narisati kot polno črto (v tem primeru kot parabolo). In potem, ko beremo graf, sklepamo o kontinuiteti funkcije, o njeni konveksnosti navzdol ali navzgor, o obsegu funkcije. Razumeti morate, da so od naštetih sedmih lastnosti samo lastnosti 1), 2), 3), 4) "legitimne" v smislu, da jih lahko utemeljimo s sklicevanjem na natančne definicije. O preostalih lastnostih imamo le vizualno-intuitivne predstavitve. Mimogrede, s tem ni nič narobe. Iz zgodovine razvoja matematike je znano, da je človeštvo pogosto in dolgo uporabljalo različne lastnosti določenih predmetov, ne da bi poznalo natančne definicije. Potem, ko je bilo mogoče oblikovati takšne definicije, je vse postalo na svoje mesto.

Graf funkcije je hiperbola, koordinatne osi služijo kot asimptote hiperbole (sl. 66, 67).

1) D(f) = (-00,0)1U (0,+oo);
2) če je k > 0, potem funkcija pada na odprtem žarku (-oo, 0) in na odprtem žarku (0, +oo) (slika 66); če bi< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) ni omejen niti od spodaj niti od zgoraj;
4) ni niti najmanjše niti največje vrednosti;
5) funkcija je zvezna na odprtem žarku (-oo, 0) in na odprtem žarku (0, +oo);
6) E(f) = (-oo, 0) U (0, + oo);
7) če je k > 0, potem je funkcija v x konveksna navzgor< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, tj. na odprtem žarku (0, +oo) (slika 66). Če do< 0, то функция выпукла вверх при х >o in konveksno navzdol pri x< О (рис. 67).
Graf funkcije je veja parabole (slika 68). Lastnosti funkcije:
1) D(f) = , narašča na žarku )