Bir fonksiyonun sınırlamasının nasıl belirleneceği örnekleri. Fonksiyonların özellikleri – Bilgi Hipermarketi

1) Fonksiyon alanı ve fonksiyon aralığı.

Bir işlevin etki alanı, tüm geçerli geçerli bağımsız değişken değerlerinin kümesidir X(değişken X), bunun için fonksiyon y = f(x) azimli. Bir fonksiyonun aralığı tüm gerçek değerlerin kümesidir sen, işlevin kabul ettiği.

İlköğretim matematikte fonksiyonlar yalnızca gerçek sayılar kümesi üzerinde incelenir.

2) Fonksiyon sıfırları.

Fonksiyon sıfır, fonksiyonun değerinin sıfıra eşit olduğu argümanın değeridir.

3) Bir fonksiyonun sabit işaret aralıkları.

Bir fonksiyonun sabit işaret aralıkları, fonksiyon değerlerinin yalnızca pozitif veya yalnızca negatif olduğu argüman değerleri kümesidir.

4) Fonksiyonun monotonluğu.

Artan bir fonksiyon (belirli bir aralıkta), bu aralıktaki argümanın daha büyük bir değerinin, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık geldiği bir fonksiyondur.

Azalan bir fonksiyon (belirli bir aralıkta), bu aralıktaki argümanın daha büyük bir değerinin, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık geldiği bir fonksiyondur.

5) Çift (tek) işlevi.

Çift fonksiyon, tanım bölgesi orijine göre simetrik olan ve herhangi bir fonksiyon için bir fonksiyondur. X tanım alanından eşitlik f(-x) = f(x). Çift fonksiyonun grafiği ordinat etrafında simetriktir.

Tek fonksiyon, tanım bölgesi orijine göre simetrik olan ve herhangi bir fonksiyon için X tanım alanından eşitlik doğrudur f(-x) = - f(x). Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.

6) Sınırlı ve sınırsız işlevler.

|f(x)| olacak şekilde pozitif bir M sayısı varsa, bir fonksiyona sınırlı fonksiyon denir. X'in tüm değerleri için ≤ M. Eğer böyle bir sayı yoksa fonksiyon sınırsızdır.

7) Fonksiyonun periyodikliği.

Bir f(x) fonksiyonu, fonksiyonun tanım alanındaki herhangi bir x için aşağıdakileri tutacak şekilde sıfırdan farklı bir T sayısı varsa periyodiktir: f(x+T) = f(x). Bu en küçük sayıya fonksiyonun periyodu denir. Tüm trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir. (Trigonometrik formüller).

19.Temel elemanter fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri. Fonksiyonların ekonomide uygulanması.

Temel temel işlevler. Özellikleri ve grafikleri

1. Doğrusal fonksiyon.

Doğrusal fonksiyon x bir değişken, a ve b ise gerçel sayılar olmak üzere formun bir fonksiyonu olarak adlandırılır.

Sayı A doğrunun eğimi denir, bu doğrunun eğim açısının x ekseninin pozitif yönüne olan tanjantına eşittir. Doğrusal bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir. İki nokta ile tanımlanır.

Doğrusal Fonksiyonun Özellikleri

1. Tanım alanı - tüm gerçek sayılar kümesi: D(y)=R

2. Değerler kümesi tüm gerçek sayılar kümesidir: E(y)=R

3. Fonksiyon veya olduğunda sıfır değerini alır.

4. Fonksiyon tüm tanım alanı boyunca artar (azalır).

5. Doğrusal bir fonksiyon tüm tanım alanı boyunca süreklidir, türevlenebilir ve .

2. İkinci dereceden fonksiyon.

x'in bir değişken olduğu ve a, b, c katsayılarının gerçel sayılar olduğu formdaki bir fonksiyona denir ikinci dereceden

Oranlar a, b, c grafiğin koordinat düzlemindeki konumunu belirleme

a katsayısı dalların yönünü belirler. İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Parabolün tepe noktasının koordinatları aşağıdaki formüller kullanılarak bulunur:

Fonksiyon özellikleri:

2. Aralıklardan biri için bir dizi değer: veya.

3. Fonksiyon şu durumlarda sıfır değer alır: burada diskriminant şu formülle hesaplanır:.

4. Fonksiyon tüm tanım kümesinde süreklidir ve fonksiyonun türevi eşittir.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Bir fonksiyonun özellikleri. Artan ve azalan fonksiyonlar"

Ek materyaller
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

9. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında eğitim yardımcıları ve simülatörler
9. sınıf için etkileşimli ders kitabı "Geometride kurallar ve alıştırmalar"
7-9. Sınıflar için "Anlaşılabilir Geometri" elektronik ders kitabı

Arkadaşlar, sayısal fonksiyonları incelemeye devam ediyoruz. Bugün fonksiyon özellikleri gibi bir konuya odaklanacağız. Fonksiyonların birçok özelliği vardır. Yakın zamanda hangi özellikleri incelediğimizi hatırlayın. Doğru, tanım alanı ve değerler alanı, bunlar temel özelliklerden biridir. Bunları asla unutmayın ve bir fonksiyonun her zaman bu özelliklere sahip olduğunu unutmayın.

Bu bölümde fonksiyonların bazı özelliklerini tanımlayacağız. Sorunları çözerken belirleyeceğimiz sırayı takip etmenizi öneririm.

Artan ve azalan fonksiyonlar

Tanımlayacağımız ilk özellik artan ve azalan fonksiyondur.

Herhangi bir x1 ve x2 için x1 olacak şekilde bir fonksiyonun X⊂D(f) kümesinde arttığı söylenir.< x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
Herhangi bir x1 ve x2 için x1 olacak şekilde bir fonksiyonun X⊂D(f) kümesinde azalan olduğu söylenir.< x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). Yani, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık gelir.

Bir fonksiyonun "artan" ve "azalan" kavramlarını, fonksiyonun grafiklerine dikkatlice bakarsanız anlamak çok kolaydır. Artan bir fonksiyon için: Bir tepeye çıkıyor gibiyiz, azalan bir fonksiyon için ise buna göre aşağı iniyoruz. Artan ve azalan fonksiyonların genel görünümü aşağıdaki grafiklerde sunulmaktadır.

Artan ve azalan fonksiyonlara genel olarak monotonluk denir. Yani görevimiz fonksiyonun azalma ve artış aralıklarını bulmaktır. Genel durumda bu şu şekilde formüle edilir: monotonluk aralıklarını bulun veya bir fonksiyonu monotonluk açısından inceleyin.

$y=3x+2$ fonksiyonunun monotonluğunu inceleyin.
Çözüm: Herhangi bir x1 ve x2 için fonksiyonu kontrol edelim ve x1 olsun.< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
x1'den beri< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Sınırlı işlev

Herhangi bir хϵХ için f(x) eşitsizliğini sağlayacak bir a sayısı varsa, $y=f(x)$ fonksiyonunun X⊂D(f) kümesinde alttan sınırlı olduğu söylenir.< a.

Herhangi bir хϵХ için f(x) eşitsizliğinin sağlandığı bir a sayısı varsa, $y=f(x)$ fonksiyonunun X⊂D(f) kümesinde yukarıdan sınırlı olduğu söylenir.< a.

X aralığı belirtilmezse, fonksiyonun tüm tanım alanı boyunca sınırlı olduğu kabul edilir. Hem üstten hem de alttan sınırlı olan fonksiyona sınırlı denir.

Fonksiyonun sınırlamasını grafikten okumak kolaydır. Düz bir çizgi çizmek mümkün
$у=а$ ve eğer fonksiyon bu çizgiden yüksekse alttan sınırlanmıştır. Aşağıdaysa, buna göre yukarıda. Aşağıda sınırlı bir fonksiyonun grafiği verilmiştir. Arkadaşlar, sınırlı bir fonksiyonun grafiğini kendiniz çizmeye çalışın.

$y=\sqrt(16-x^2)$ fonksiyonunun sınırlılığını inceleyin.
Çözüm: Belirli bir sayının karekökü sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir. Açıkçası, fonksiyonumuz da sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir, yani aşağıdan sınırlıdır.
Yalnızca negatif olmayan bir sayıdan karekökü çıkarabiliriz, o zaman $16-x^2≥0$.
Eşitsizliğimizin çözümü [-4;4] aralığı olacaktır. Bu segmentte $16-x^2≤16$ veya $\sqrt(16-x^2)≤4$, ancak bu yukarıdan sınırlı olduğu anlamına gelir.
Cevap: Fonksiyonumuz $y=0$ ve $y=4$ olmak üzere iki düz çizgi ile sınırlıdır.

En Yüksek ve En Düşük Değer

X⊂D(f) kümesindeki y= f(x) fonksiyonunun en küçük değeri, şöyle bir m sayısıdır:

b) Herhangi bir хϵХ için $f(x)≥f(x0)$ tutar.

X⊂D(f) kümesindeki y=f(x) fonksiyonunun en büyük değeri, şöyle bir m sayısıdır:
a) $f(x0)=m$ olacak şekilde bir x0 vardır.
b) Herhangi bir хϵХ için $f(x)≤f(x0)$ tutar.

En büyük ve en küçük değerler genellikle ymax ile gösterilir. ve adın .

Sınırlılık ve bir fonksiyonun en büyüğü ile en küçük değeri kavramları yakından ilişkilidir. Aşağıdaki ifadeler doğrudur:
a) Bir fonksiyonun minimum değeri varsa aşağıda sınırlanır.
b) Bir fonksiyon en büyük değere sahipse yukarıdan sınırlanır.
c) Fonksiyon yukarıdan sınırlı değilse en büyük değer mevcut değildir.
d) Fonksiyon aşağıdan sınırlı değilse en küçük değer mevcut değildir.

$y=\sqrt(9-4x^2+16x)$ fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerini bulun.
Çözüm: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
$х=4$ $f(4)=5$ için, diğer tüm değerler için fonksiyon daha küçük değerler alır veya yoktur, yani bu, fonksiyonun en büyük değeridir.
Tanım gereği: $9-4x^2+16x≥0$. İkinci dereceden üç terimli $(2x+1)(2x-9)≥0$'ın köklerini bulalım. $x=-0.5$ ve $x=4.5$ noktalarında fonksiyon yok olur; diğer tüm noktalarda sıfırdan büyüktür. O halde tanımı gereği fonksiyonun en küçük değeri sıfıra eşittir.
Cevap: y maks. =5 ve y adı. =0.

Arkadaşlar, bir fonksiyonun dışbükeylik kavramını da inceledik. Bazı problemleri çözerken bu özelliğe ihtiyaç duyabiliriz. Bu özellik grafikler kullanılarak da kolaylıkla belirlenebilir.

Orijinal fonksiyonun grafiğindeki herhangi iki nokta bağlantılıysa ve fonksiyonun grafiği, noktaları birleştiren doğrunun altındaysa, fonksiyon aşağıya doğru dışbükeydir.

Orijinal fonksiyonun grafiğindeki herhangi iki nokta bağlantılıysa ve fonksiyonun grafiği bu noktaları birleştiren doğrunun üzerindeyse, fonksiyon yukarıya doğru dışbükeydir.

Bir fonksiyon, eğer fonksiyonumuzun grafiğinde, örneğin yukarıdaki fonksiyonun grafiğinde olduğu gibi, hiç kesinti yoksa süreklidir.

Bir fonksiyonun özelliklerini bulmanız gerekiyorsa, özellikleri arama sırası aşağıdaki gibidir:
a) Tanım alanı.
b) Monotonluk.
c) Sınırlama.
d) En büyük ve en küçük değer.
Süreklilik.
e) Değer aralığı.

$y=-2x+5$ fonksiyonunun özelliklerini bulun.
Çözüm.
a) Tanım kümesi D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotonluk. Herhangi bir x1 ve x2 değerini kontrol edelim ve x1 olsun< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
x1'den beri< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) Sınırlama. Açıkçası işlevi sınırlı değildir.
d) En büyük ve en küçük değer. Fonksiyon sınırsız olduğundan maksimum veya minimum değer yoktur.
Süreklilik. Fonksiyonumuzun grafiğinde kesinti yok, bu durumda fonksiyon süreklidir.
e) Değer aralığı. E(y)=(-∞;+∞).

Bağımsız çözüm için bir fonksiyonun özelliklerine ilişkin problemler

Fonksiyon özelliklerini bulun:
a) $y=2x+7$,
b) $y=3x^2$,
c) $y=\frac(4)(x)$.

Eğer böyle bir sayı mevcutsa, A kümesi üzerinde D(f) tanımının tanım kümesinden y=f(x) SINIRLI ÜST (ALT) fonksiyonunu çağıracağız. M , bu kümedeki herhangi bir x için koşulun karşılandığı

Mantıksal semboller kullanılarak tanım şu şekilde yazılabilir:

f(x) – sette yukarıda sınırlanmış

(f(x) – sette alttan sınırlandırılmış

Modülü sınırlı veya basitçe sınırlı olan fonksiyonlar da dikkate alınır.

Eğer pozitif bir M sayısı varsa, tanım kümesinden A kümesindeki SINIRLI bir fonksiyonu çağıracağız;

Mantıksal sembollerin dilinde

f(x) – sette sınırlı

Sınırlı olmayan bir fonksiyona sınırsız denir. Olumsuzlama yoluyla yapılan tanımların içeriğinin çok az olduğunu biliyoruz. Bu ifadeyi bir tanım olarak formüle etmek için nicelik belirteç işlemlerinin (3.6) ve (3.7) özelliklerini kullanırız. O zaman mantıksal semboller dilinde bir fonksiyonun sınırlılığını reddetmek şunu sağlayacaktır:

f(x) – sette sınırlı

Elde edilen sonuç aşağıdaki tanımı formüle etmemizi sağlar.

Bir fonksiyona, fonksiyonun tanım alanına ait olan bir A kümesi üzerinde, eğer bu kümede herhangi bir pozitif M sayısı için x argümanının böyle bir değeri varsa, bu fonksiyona SINIRSIZ denir. , yani değer hala M'nin değerini aşacaktır.

Örnek olarak, işlevi düşünün

Tüm gerçek eksen üzerinde tanımlanır. [–2;1] (A kümesi) parçasını alırsak, o zaman hem üstünden hem de altından sınırlanacaktır.

Aslında yukarıdan sınırlı olduğunu göstermek için yüklemi dikkate almalıyız.

ve öyle bir M olduğunu (var olduğunu) gösterin ki, [–2;1] aralığında alınan tüm x'ler için bu doğru olacaktır.

Böyle bir M'yi bulmak zor değil. M = 7 olduğunu varsayabiliriz, varlık niceleyicisi M'nin en az bir değerinin bulunmasını içerir. Böyle bir M'nin varlığı, [–2;1] aralığındaki fonksiyonun yukarıdan sınırlandığı gerçeğini doğrular.

Aşağıdan sınırlı olduğunu kanıtlamak için yüklemi dikkate almamız gerekir.

Verilen bir yüklemin doğruluğunu sağlayan M değeri örneğin M = –100'dür.

Fonksiyonun modül açısından da sınırlı olacağı kanıtlanabilir: [–2;1] aralığındaki tüm x'ler için, fonksiyonun değerleri, M'yi alabileceğimiz gibi, değerleriyle çakışır. örneğin önceki değer M = 7.

Aynı fonksiyonun aralıkta sınırsız olacağını gösterelim, yani

Böyle bir x'in var olduğunu göstermek için şu ifadeyi düşünün

Argümanın pozitif değerleri arasında x'in gerekli değerlerini arayarak şunu elde ederiz:

Bu şu anlama gelir: Hangi pozitif M'yi alırsak alalım, eşitsizliğin gerçekleşmesini sağlayan x değerleri

ilişkiden elde edilir.

Bir fonksiyonun tüm reel eksen üzerinde ele alınmasıyla mutlak değerde sınırsız olduğu gösterilebilir.

Aslında eşitsizlikten

Yani pozitif M ne kadar büyük olursa olsun eşitsizliğin gerçekleşmesini sağlayacaktır.

EXTRA FONKSİYON.

Fonksiyon şu noktada var İle yerel maksimum (minimum), eğer bu noktanın böyle bir komşuluğu varsa X¹ İle bu mahallede eşitsizlik devam ediyor

özellikle uç noktanın aralığın yalnızca bir iç noktası olabileceği ve bu noktada f(x)'in mutlaka tanımlanması gerektiği. Bir ekstremun yokluğunun olası durumları Şekil 2'de gösterilmektedir. 8.8.

Bir fonksiyon belirli bir aralıkta artıyorsa (azalıyorsa) ve belirli bir aralıkta azalıyorsa (artıyorsa) nokta İle yerel maksimum (minimum) noktadır.

Bu noktada f(x) fonksiyonunun maksimumunun olmaması İle şu şekilde formüle edilebilir:

_______________________

f(x) c noktasında maksimuma sahiptir

Bu, eğer c noktası yerel bir maksimum nokta değilse, c noktasını iç olarak içeren komşuluk ne olursa olsun, c'ye eşit olmayan en az bir x değeri olacağı anlamına gelir. Dolayısıyla, c noktasında bir maksimum yoksa, bu noktada hiçbir ekstremum olmayabilir veya bir minimum nokta olabilir (Şekil 8.9).

Ekstremum kavramı, bir fonksiyonun herhangi bir noktadaki değerinin yakındakilerle ilişkili olarak karşılaştırmalı bir değerlendirmesini sağlar. Belirli bir aralığın tüm noktaları için fonksiyon değerlerinin benzer bir karşılaştırması yapılabilir.

Bir kümedeki bir fonksiyonun MAKSİMUM (EN KÜÇÜK) değeri, bu kümenin bir noktasındaki değeridir; öyle ki - . Fonksiyonun en büyük değeri parçanın iç noktasında elde edilir ve en küçük değeri ise parçanın iç noktasında elde edilir. – sol ucunda.

Bir aralıkta belirtilen bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değerini belirlemek için, maksimum (minimum) değerlerinin yanı sıra kabul edilen değerlerin tüm değerleri arasından en büyük (en küçük) sayıyı seçmek gerekir. aralığın sonlarında. Bu, fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri olacaktır. Bu kural daha sonra açıklanacaktır.

Bir fonksiyonun açık aralıkta en büyük ve en küçük değerlerini bulma probleminin çözülmesi her zaman kolay değildir. Örneğin, fonksiyon

aralıkta (Şekil 8.11) bunlara sahip değildir.

Örneğin bu fonksiyonun çok büyük bir öneme sahip olmadığından emin olalım. Aslında fonksiyonun monotonluğu dikkate alındığında, x'in değerlerini birliğin soluna ne kadar yakın ayarlarsak koyalım, fonksiyonun değerlerinin değişeceği başka x'lerin de olacağı öne sürülebilir. alınan sabit noktalardaki değerlerinden büyük ancak yine de birden küçük olmalıdır.

Lütfen unutmayın: tüm tanımlar, fonksiyonun tanım kümesinin bir parçası olan X sayısal kümesini içerir: X ve D(f). Uygulamada çoğu zaman X'in sayısal bir aralık (bölüm, aralık, ışın vb.) olduğu durumlar vardır.

Tanım 1.

Bir y = f(x) fonksiyonunun, X kümesinin herhangi iki x 1 ve x 2 noktası için x 1 olacak şekilde D(f) ile bir X kümesi üzerinde arttığı söylenir.< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

Tanım 2.

Bir y = f(x) fonksiyonunun, X kümesinin herhangi iki x 1 ve x 2 noktası için x 1 olacak şekilde D(f) ile bir X kümesi üzerinde azalan olduğu söylenir.< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x2).

Uygulamada, aşağıdaki formülasyonları kullanmak daha uygundur: argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık geliyorsa, bir fonksiyon artar; argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık geliyorsa, bir fonksiyon azalır.

7. ve 8. sınıflarda bir fonksiyonun arttırılması veya azaltılması kavramlarının geometrik yorumunu kullandık: Artan bir fonksiyonun grafiği boyunca soldan sağa doğru hareket ederek bir tepeye tırmanıyor gibiyiz (Şekil 55); Azalan bir fonksiyonun grafiğinde soldan sağa doğru hareket ettiğimizde sanki bir tepeden aşağı iniyormuşuz gibi olur (Şekil 56).
Genellikle "artan fonksiyon" ve "azalan fonksiyon" terimleri monotonik fonksiyon genel adı altında birleştirilir ve bir fonksiyonun artan veya azalan çalışmaya yönelik çalışmasına, bir fonksiyonun monotonluk çalışmasına yönelik çalışma denir.

Bir duruma daha dikkat edelim: Eğer bir fonksiyon doğal tanım alanında artarsa ​​(veya azalırsa), o zaman genellikle X sayısal kümesini belirtmeden fonksiyonun arttığını (veya azaldığını) söyleriz.

Örnek 1.

Fonksiyonun monotonluğunu inceleyin:

A) y = x 3 + 2; b) y = 5 - 2x.

Çözüm:

a) x 1 ve x 2 argümanının keyfi değerlerini alın ve x 1 olsun<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Son eşitsizlik şu anlama gelir: f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Yani x 1'den< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), bu da verilen fonksiyonun azalan olduğu anlamına gelir (tüm sayı doğrusunda).

Tanım 3.

Bir y - f(x) fonksiyonunun, X kümesindeki tüm değerleri belirli bir sayıdan büyükse (başka bir deyişle, eğer varsa), D(f) ile bir X kümesi üzerinde aşağıdan sınırlı olduğu söylenir. öyle bir m sayısı ki herhangi bir x є X değeri için eşitsizlik f( x) >m).

Tanım 4.

Bir y = f(x) fonksiyonunun, eğer fonksiyonun tüm değerleri belirli bir sayıdan küçükse (başka bir deyişle, böyle bir M sayısı varsa), D(f) ile bir X kümesi üzerinde yukarıdan sınırlı olduğu söylenir. herhangi bir x є X değeri için f(x) eşitsizliğinin geçerli olduğu< М).

X kümesi belirtilmezse tüm tanım alanında alttan veya üstten sınırlı bir fonksiyondan bahsettiğimiz anlaşılır.

Bir fonksiyon hem alttan hem de üstten sınırlı ise buna sınırlı denir.

Bir fonksiyonun sınırlılığı grafiğinden kolayca okunabilir: Eğer bir fonksiyon alttan sınırlıysa, grafiği tamamen belirli bir yatay y = m çizgisinin üzerinde yer alır (Şekil 57); eğer bir fonksiyon yukarıdan sınırlanmışsa, grafiği tamamen y = M yatay çizgisinin altında yer alır (Şekil 58).

Örnek 2. Bir fonksiyonun sınırlılığını inceleyin
Çözüm. Bir yandan eşitsizlik oldukça açıktır (tanım gereği kare kök Bu, fonksiyonun alttan sınırlı olduğu anlamına gelir. Öte yandan, elimizde ve dolayısıyla
Bu, fonksiyonun üst sınırlı olduğu anlamına gelir. Şimdi verilen fonksiyonun grafiğine bakın (önceki paragraftan Şekil 52). Fonksiyonun hem üst hem de alt sınırlaması grafikten oldukça kolay okunabilmektedir.

Tanım 5.

Aşağıdaki durumlarda m sayısına X C D(f) kümesindeki y = f(x) fonksiyonunun en küçük değeri denir:

1) X'te f(x 0) = m olacak şekilde bir x 0 noktası vardır;

2) X'ten gelen tüm x'ler için m>f(x 0) eşitsizliği geçerlidir.

Tanım 6.

Aşağıdaki durumlarda M sayısına X C D(f) kümesindeki y = f(x) fonksiyonunun en büyük değeri denir:
1) X'te f(x 0) = M olacak şekilde bir x 0 noktası vardır;
2) X'ten gelen tüm x'ler için eşitsizlik
Hem 7. hem de 8. sınıfta bir fonksiyonun en küçük değerini y sembolüyle, en büyüğünü ise y sembolüyle gösterdik.

X kümesi belirtilmemişse, tüm tanım kümesinde fonksiyonun en küçük veya en büyük değerini bulmaktan bahsettiğimiz varsayılır.

Aşağıdaki yararlı ifadeler oldukça açıktır:

1) Bir fonksiyon Y'ye sahipse aşağıdan sınırlıdır.
2) Bir fonksiyon Y'ye sahipse yukarıdan sınırlıdır.
3) Eğer fonksiyon aşağıdan sınırlı değilse Y mevcut değildir.
4) Eğer fonksiyon yukarıdan sınırlı değilse Y mevcut değildir.

Örnek 3.

Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulma
Çözüm.

Özellikle fonksiyon grafiğini kullanırsanız (Şekil 52), = 0 (fonksiyon bu değere x = -3 ve x = 3 noktalarında ulaşır), a = 3 (fonksiyon bu değere x noktasında ulaşır) oldukça açıktır. = 0.
7. ve 8. sınıfta fonksiyonların iki özelliğinden daha bahsetmiştik. İlkine bir fonksiyonun dışbükey özelliği adı verildi. Grafiğinin herhangi iki noktasını (X'ten apsisli) bir düz çizgi parçasıyla birleştirerek grafiğin karşılık gelen kısmının çizilen parçanın altında olduğunu bulursak, bir fonksiyonun X aralığında aşağı doğru dışbükey olduğu kabul edilir (Şekil 1). .59). süreklilik Bir fonksiyon, grafiğinin herhangi iki noktasını (X'ten apsisli) bir düz çizgi parçasıyla birleştirerek, grafiğin karşılık gelen kısmının çizilen parçanın üzerinde bulunduğunu bulursak, X aralığında yukarı doğru dışbükeydir ( Şekil 60).

İkinci özellik - bir fonksiyonun X aralığındaki sürekliliği - fonksiyonun X aralığındaki grafiğinin sürekli olduğu anlamına gelir, yani. hiçbir delinme veya atlama yoktur.

Yorum.

Aslında matematikte her şey, dedikleri gibi, "tamamen tersidir": Bir fonksiyonun grafiği, yalnızca fonksiyonun sürekliliği kanıtlandığında düz bir çizgi (delikler veya atlamalar olmadan) olarak gösterilir. Ancak bir fonksiyonun sürekliliğinin oldukça karmaşık ve incelikli resmi bir tanımı henüz bizim yeteneklerimiz dahilinde değildir. Aynı şey bir fonksiyonun dışbükeyliği için de söylenebilir. Fonksiyonların bu iki özelliğini tartışırken görsel ve sezgisel kavramlara güvenmeye devam edeceğiz.

Şimdi bilgilerimizi gözden geçirelim. 7. ve 8. sınıfta incelediğimiz fonksiyonları hatırlayarak, grafiklerinin nasıl göründüğüne açıklık getirelim ve fonksiyonun özelliklerini belirli bir sıraya bağlı kalarak listeleyelim, örneğin tanım alanı; monoton; sınırlama; , ; süreklilik; menzil; dışbükey.

Daha sonra fonksiyonların yeni özellikleri görünecek ve özelliklerin listesi buna göre değişecektir.

1. Sabit fonksiyon y = C

y = C fonksiyonunun grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 61 - x eksenine paralel düz çizgi. Bu o kadar ilgi çekici olmayan bir özellik ki, özelliklerini listelemenin bir anlamı yok.

y = kx + m fonksiyonunun grafiği düz bir çizgidir (Şekil 62, 63).

y = kx + m fonksiyonunun özellikleri:

1)
2) k > 0 ise artar (Şekil 62), k ise azalır< 0 (рис. 63);

4) ne en büyük ne de en küçük değer vardır;
5) fonksiyon süreklidir;
6)
7) dışbükeylikten bahsetmenin bir anlamı yok.

Y = kx 2 fonksiyonunun grafiği, tepe noktası orijinde olan ve dalları k > O ise yukarıya doğru (Şekil 64), k ise aşağıya doğru yönlendirilmiş bir paraboldür.< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

y - kx 2 fonksiyonunun özellikleri:

k> 0 durumu için (Şekil 64):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = mevcut değil;
5) sürekli;
6) E(f) = fonksiyon azalır ve aralıkta ışın üzerinde azalır;
7) yukarı doğru dışbükey.

y = f(x) fonksiyonunun grafiği nokta nokta çizilmiştir; (x; f(x)) formunda ne kadar çok nokta alırsak, grafik hakkında o kadar doğru bir fikir elde ederiz. Bu noktaların çoğunu alırsanız, grafiğin daha eksiksiz bir resmini elde edersiniz. Bu durumda sezgi bize grafiğin düz bir çizgi olarak (bu durumda parabol şeklinde) gösterilmesi gerektiğini söyler. Ve sonra grafiği okuyarak, fonksiyonun sürekliliği, aşağı veya yukarı doğru dışbükeyliği, fonksiyonun değer aralığı hakkında sonuçlar çıkarıyoruz. Listelenen yedi özellikten yalnızca 1), 2), 3), 4) özelliklerinin "meşru" - "meşru" olduğunu, yani bunları kesin tanımlara atıfta bulunarak gerekçelendirebileceğimizi anlamalısınız. Geriye kalan özellikler hakkında yalnızca görsel ve sezgisel fikirlerimiz var. Bu arada, bunda yanlış bir şey yok. Matematiğin gelişim tarihinden itibaren insanlığın, kesin tanımları bilmeden, belirli nesnelerin çeşitli özelliklerini sıklıkla ve uzun süre kullandığı bilinmektedir. Daha sonra bu tür tanımlar formüle edilebildiğinde her şey yerli yerine oturdu.

Fonksiyonun grafiği bir hiperboldür, koordinat eksenleri hiperbolün asimptotları olarak görev yapar (Şekil 66, 67).

1) D(f) = (-00,0)1U (0,+oo);
2) eğer k > 0 ise, o zaman fonksiyon açık ışında (-oo, 0) ve açık ışında (0, +oo) azalır (Şekil 66); Eğer< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) aşağıdan veya yukarıdan sınırlı değildir;
4) ne en küçük ne de en büyük değer vardır;
5) fonksiyon açık ışında (-oo, 0) ve açık ışında (0, +oo) süreklidir;
6) E(f) = (-oo,0) U (0,+oo);
7) eğer k > 0 ise fonksiyon x noktasında yukarıya doğru dışbükeydir< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, yani açık kirişte (0, +oo) (Şek. 66). Eğer< 0, то функция выпукла вверх при х >O ve x'te aşağı doğru dışbükey< О (рис. 67).
Fonksiyonun grafiği bir parabolün dalıdır (Şekil 68). Fonksiyon özellikleri:
1) D(f) = , ışın üzerinde artar)