Презентация тему история систем счисления. Презентация "Системы счисления" по информатике – проект, доклад

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

ИСТОРИЯ систем счисления

Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир. Иоганн Гете

Так говорили пифагорейцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности. «Все есть число» Современный человек каждый день запоминает номера машин и телефонов, в магазине подсчитывает стоимость покупок, ведет семейный бюджет...

Числа... они с нами везде и всегда. Но в лю б ом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов - цифр. Люди всегда считали и записывали числа, даже пять тысяч лет назад. Но зап исывали они их совершенно по-другому, по другим правилам.

Цифры - это символы, составляющие некоторый алфавит. Что же такое тогда число? Число - это некоторая величина, состоящая из цифр, сложенных по определенным правилам. На разных этапах развития человечества, у разных народов эти правила были различны и сегодня мы их называем системами счисления.

Система счисления - это знаковая система, в которой все числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Непозиционные Позиционные

Итак, рассмотрим различные непозиционные системы счисления. Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных.

Сначала люди просто различали ОДИН предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «МНОГО»

Первыми понятиями математики были " меньше ", " больше ", " столько же ". >

Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся. Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей.

Счет появился тогда, когда человеку потребовалось сообщать своим соплеменникам о количестве найденных им предметов. И, т ак как многие народы в древности не общались друг другом, то у разных народов возникли разные системы счисления и представления чисел и цифр.

Имена числительные во многих языках указывают, что у первобытного человека орудием счета были преимущественно пальцы. Пальцы оказались прекрасной вычислительной машиной.

Однако известны народы, у которых единицами счёта были не пальцы, а их суставы. Поэтому они могли пользоваться для счета пальцами как рук, так и ног. В древние времена люди ходили босиком. До сих пор существуют в Полинезии племена, использую щие с 20-ую систему счисления.

Например, на крупнейшей мировой хлебной бирже в Чикаго предложения и запросы, как и цены объявляются маклерами на пальцах без единого слова. Пальцевой счет сохранился кое-где и поныне

Появилась потребность в записи чисел. Запомнить большие числа было трудно, поэтому к «счетной машине» рук и ног стали добавлять различные приспособления. Количество предметов изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине…

Единичная («палочная») периоду палеолита 10-11 тысяч лет до н.э. или Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоев, относящихся к Любое число в ней образуется повторением одного знака - единицы.

Чем больше зерна собирали люди со своих полей, чем многочисленнее становились их стада, тем большие числа становились им нужны. Единичная запись для таких чисел была громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа.

2,5 тысяч лет до н.э. Древнеегипетская десятичная = 2342

Число Символ Обозначение 1 Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки. 10 Такими путами египтяне связывали коров 100 Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила. 1 000 Цветущий лотос 10 000 "В больших числах будь внимателен!" - говорит поднятый вверх указательный палец. 100 000 Обычный лягушачий головастик 1 000 000 Число фараонов. Увидев такое число, обычный человек очень удивится и возденет руки к небу. 10 000 000 Египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, и, наверное, поэтому самое большое свое число они изобразили в виде восходящего солнца

Какое древнеегипетское число записано? 5 3 8 6 4 2 1

С операциями сложения и вычитания люди имели дело задолго до того, как числа получили имена. Когда несколько групп сборщиков кореньев или рыболовов складывали в одно место свою добычу, они выполняли операцию Когда люди стали сеять хлеб и увидели, что собранный урожай в несколько раз больше, чем количество посеянных семян, тогда они познакомились с операцией Когда добытое мясо животных или собранные орехи делили поровну между всеми "ртами", выполнялась операция А операция вычитания? сложения умножения деления

Умножение и деление египтяне производили путем последовательного удвоения чисел. Как же египтяне считали?

Пример. 19 * 31 31 62 124 248 496 и складывали числа, стоящие в отмеченных строках справа (31 + 62 + 496 = 589). Затем отмечали вертикальными черточками строки левого столбца, из которых можно было сложить множитель (19 = 1 + 2 + 16) 1 2 4 16 Египтяне в левом столбце записывали соответствующую степень двойки, а в правом столбце записывали результаты удвоения числа 31.

Египетские дроби всегда имели в числителе единицу (исключение составляло 2/3). Дроби записывались как натуральные числа, только над ними ставилась точка Исключение: специальные знаки были для 1/2 и для 2/3

Римская десятичная I , V, Х, L, C, D, M Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд «цифр». тысячи лет до н.э. и до наших дней

В римской системе для обозначения чисел используются знаки: I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для других чисел используются заглавные латинские буквы соответствующих латинских слов 50 - L , 100 – С entum , 500 – D emimille , 1000 – M ille , являющиеся «цифрами ».

444 400 40 4 Пример. Записать число 444 в римской системе. (D – C) (L – X) (V – I) CDXLIV

444 CDXLIV ВНИМАНИЕ! Все цифры числа в десятичной системе одинаковые, а в римской – разные.

1986 Пример. Записать число 1986 в римской системе. 9 00 80 6 10 00 MCMLXX X VI M (M – C) (V + I) (L + X + X + X)

Алфавитные системы счисления

Греки применяли несколько способов записи чисел. Афиняне для обозначения чисел пользовались первыми буквами слов-числительных: Греческая (ионийская) Например, I , II , III , IIII - 1, 2, 3, 4  IIII – 10+10+10+4 = 34 Г Г  пять   десять Н  сто X  тысяча М  десять тысяч

Великий греческий математик Диофант Александрийский записыв ал дроби примерно так, как принято сейчас: числитель над знаменателем, без черты. Это был один из способов записи дробей в Древней Греции.

В старину на Руси широко применялись системы счисления, напоминающие систему Древнего Египта. С их помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате подати (ясака) и делали записи в податной тетради. Звезда – тысяча рублей Колесо – сто рублей Квадрат – десять рублей Х - рубль | - копейку. Древняя Русь 1232 руб. 24 коп.

В IX веке монахами братьями Кириллом и Мефодием Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. была создана новая нумерация вместе со славянской алфавитной системой для перевода священных библейских книг.

Мы видим, что запись получилась не длиннее нашей десятичной. Это объясняется тем, что в алфавитных системах использовалось, по крайней мере, 27 «цифр». Пример. Запишем число 444 в славянской системе.

Эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии до реформы Петра I (до конца XVII века). Но до сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 - титло «Аз» «Веди» «Глаголь» «Добро» «Есть» «Зело» «Земля» «Иже» «Фита» «И»

Число Изображение Обозначение 1000 Тысяча 10 000 Тьма 100 000 Легион 1 000 000 Леодр 10 000 000 Ворон 100 000 000 Колода

Правда, славяне, как и греки, умели записывать числа и больше 1000. Для этого к алфавитной системе добавляли новые обозначения. Так, например, числа 1000, 2000, 3000. записывали теми же «цифрами», что и 1, 2, 3..., только перед «цифрой» ставили слева снизу специальный знак. Алфавитные системы удобны только для записи чисел до 1000. Удобны ли алфавитные системы?

Такой способ записи чисел, как в алфавитной системе, можно рассматривать как зачатки позиционной системы, так как в нем для обозначения единиц разных разрядов применялись одни и те же символы, к которым лишь добавлялись специальные знаки для определения значения разряда. Алфавитные системы счисления были мало пригодны для оперирования с большими числами. В ходе развития человеческого общества эти системы уступили место позиционным системам.

Непозиционной системой счисления - называется такая система счисления, у которой количественный эквивалент («вес») цифры не зависит от ее местоположения в записи числа.

Недостатки непозиционной системы счисления 1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел. 2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа. 3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Далее рассмотрим позиционные системы счисления. Но мы до сих пор пользуемся элементами непозиционной системы счисления в обыденной речи, в частности, мы говорим сто, а не десять десятков, тысяча, миллион, миллиард, триллион.

Позиционной системой счисления - называется такая система счисления, у которой количественный эквивалент («вес») цифры зависит от ее местоположения в записи числа. Рассмотрим два числа 52 и 25 . Цифры одни и те же – 5 и 2, а чем эти числа отличаются? П озици ей цифры в числе.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления - количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. За основание можно принять любое натуральное число - два, три, четыре, ..., образовав новую позиционную систему: двоичную, троичную, четверичную и.. .

2 тысячи лет до н.э. Вавилонская шестидесятеричная - единицы - десятки цифры: и - 60 ; 60 2 ; 60 3 ; … ; 60 n 2-ой разряд 1-ый разряд = 60 + 20 + 2 = 82 = 33

И до наших дней сохранились следы счета ш естью десятками. Окружность делят на 360 0 , то есть 6*60 градусов, градус - на 60 минут, а минуту - на 60 секунд. 1 0 360 0 0 До сих пор мы делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд.

Арабский ученый математик (из города Хорезма на реке Аму-Дарья). Мухаммед бен Муса ал-Хорезм ≈ в 850 году н.э. он написал книгу об общих правилах решения арифметических задач при помощи уравнений. Она называлась " Китаб ал-Джебр ". Эта книга дала имя науке алгебре.

Индийские ученые сделали одно из важнейших в математике открытий - изобрели позиционную систему счисления, которой теперь пользуется весь мир. Триста лет спустя (в 1120 г.) эту книгу перевели на латинский язык, и она стала первым учебником "индийской" арифметики для всех европейских городов. Ал-Хорезми подробно описал индийскую арифметику в своей книге.

10 у привычной десятичной системы счисления (десять пальцев на руках). Алфавит: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. 60 придумано в Древнем Вавилоне: деление часа на 60 минут, минуты - на 60 секунд, угла - на 360 градусов. 12 распространили англосаксы: в году 12 месяцев, в сутках два периода по 12 часов, в футе 12 дюймов. 7 используется для счета дней недели Основания, используемые в наши дни

1. Что такое система счисления? 2. Привести примеры позиционных и непозиционных систем счисления. 3. А. С. Пушкин родился в MDCCXCIX году? 4.Что такое основание системы счисления? 5. Система счисления с каким основанием была самой первой? 6. В какой стране впервые стали использоваться специальные обозначения для 100,1000,1000000? 7. Перечислите недостатки непозиционных систем счисления. ВОПРОСЫ ДЛЯ ЗАКРЕПЛЕНИЯ:

1. Какие числа записаны с помощью римских цифр: МС I Х, L Х V ? 2. Запишите год своего рождения: А) в древнеегипетской системе счисления; Б) в римской системе счисления; В) в древнеславянской системе счисления. Домашнее задание.

, Конкурс «Презентация к уроку»

Класс: 6

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока: Мотивация познавательной деятельности, дающей возможность учащимся обобщать и систематизировать приобретенные во время урока знания на освоении иных систем счисления, помимо привычной десятичной.

Достижение этой цели осуществлялось через задачи урока:

образовательные:

познакомить учащихся с системами счисления возникших в различных странах и эпохах;
вовлечение максимального числа учащихся, как в диалог по обобщению пройденного материала, так и в работу по анализу изложенного нового материала и закреплению его;
закрепление теоретического материала различными технологическими навыками - работа с карточки и работа в графическом редакторе над решением одной и той же задачи – «День рождения не в 10-й СС».
проанализировать их, сделав вывод об их классификации (не позиционные и позиционные);

воспитательные:

развивающие: развить в них навык использования информационных технологий в самостоятельном изучении научно-популярного материала; развить умение анализировать и обобщать пройденный материал у учащихся; развитие образного и логическое мышление.

Методы и приемы

Организации учебно-познавательной деятельности : использование информационных и здоровье сберегающих технологий; постановка проблемных вопросов, решение поисковых задач.
Самостоятельной познавательной деятельности учащихся : выполнение практической работы с элементами программированного обучения;
Контроля и самоконтроля : самооценка своей деятельности учащимися.

Учебно-методическое оснащение урока:

Материально-техническая база : компьютерный класс, мультимедийный проектор, таблицы для заполнения и карточки (раздаточный материал), графический редактор Paint.
Дидактическое обеспечение : авторская презентации «История возникновения чисел и систем счисления», учебник.

Технические требования: ОС Windows или Линокс; графический редактор Paint или...; презентация Power Point.

Данный урок призван:

активизировать познавательную деятельность учащихся;
развить в них навык использования информационных технологий в самостоятельном изучении научно-популярного материала;
развить умение выступать и доказывать свою точку зрения;
развить умение и использование приобретенных навыков по написанию тестов на практике.

Предполагается вовлечение максимального числа учащихся, как в изложение нового материала, так и в работу по закреплению его.

Эпиграф: "Мысль выражать все числа десятью знаками, придавая им кроме значения по форме еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этому методу, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Апполония, от которых эта мысль осталась скрытой ." П. Лаплас

Ход урока

I. Организационный момент (1 мин)

II. Теоретическая часть. Просмотр и работа по презентации урока: «История возникновения чисел и систем счисления». (20 мин.) (Презентация)

Введение (учитель- слайды 1 и 2 см. (Презентация )): Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами - они с нами везде. А две тысячи лет назад что знал человек о числах? А пять тысяч лет назад? Ученые утверждают, что и тогда люди могли записывать числа и выполнять над ними арифметические действия, но делали они это совершенно по другим принципам, чем в делаем это мы. Сейчас мы узнаем о системах счисления, возникших в глубокой древности, ныне исчезнувших, но заложивших основы современных систем счисления.
Система счисления - способ записи (изображения) чисел.

Самая простая система счисления (СС) (учитель):

Камешки, косточки … (слайды 3 и 4 см. (Презентация )).
Задание-1 (слайд 4). Покажите с помощью пальцев свой день рождения. Возникает вопрос: Как показать год?
Вывод (учащиеся): самая простая СС не дает возможностей работать со значениями больше 100.
Историческая справка (слайды 5 и 6 см. (Презентация )). Счёт у индейцев, народов древней Азии Майя.

Аддитивная система счисления: Введение специальных символов для обозначения больших чисел - пяти, десяти и т. д. Раскрытие на примерах нумерации Майя и египетской принципа формирования чисел в результате суммирования всех знаков.

Нумерация индейцев Майя (слайд 7, 8, 9 см. (Презентация ))
Египетская нумерация (слайд 9-14 см. (Презентация ))

Вывод (учащиеся слайд 15 см. (Презентация )): недостаток - большая и не всегда понятная запись, сложность при расчете.

Алфавитно-аддитивная система счисления: Для обозначения цифр используются существующий алфавит и титл.

Древнегреческая нумерация «Ионийская» (слайд 16 и 17 см. (Презентация ))
Славянская глаголическая нумерация (слайд 18 и 19 см. (Презентация ))

Задание-2 . (7 мин.) Сложим в таблице используя карточки с Рунами из славянской глаголической алфавита свой день рождения. Проверка по ходу выполнения задания. Необходимо раздать таблицу «Мой день рождения» (Приложение 1) и карточки славянского глаголического алфавита (Приложение 2 ).

Славянская Кириллическая нумерация (слайд 20-22 см. (Презентация )). Сравним с «Ионийской» СС в Греции (слайд 17 см. (Презентация ))

Вывод (учащиеся): за основу взяты одинаковые буквы алфавита.

Римская (латинская слайд 23 см. (Презентация )) СС. Используется до сих пор.

Вывод (учителя) : Все рассмотренные ранее системы счисления были не позиционными.

Мультипликативная система счисления:

Использование иероглифов не позволяло создавать систему счета по выше изложенным принципам, поэтому возник другой подход к формированию чисел - позиционные.(слайд 24 см. (Презентация ))
Китайская нумерация (слайд 26-27 см. (Презентация ))
Индийская (арабская) нумерация (слайд 28-29 см. (Презентация ))

Вывод (учителя слайд 30 см. (Презентация )):

Китайская и индийская системы счисления были позиционные.

Блиц опрос класса для анализа понимания пройденного материала (3 мин).

Что такое система счисления? (Способ записи (изображения) чисел ).
Какие виды СС Вы знаете, коротко охарактеризуйте их? (Позиционные и не позиционные ).
С какими позиционными СС мы познакомились ранее?
Какие символы использованы в них для записи чисел? (Арабские цифры, буквы английского алфавита... ).
(На внимательность): В какой системе счисления малыш показывает на пальцах, сколько ему лет? Ответ: в палочной (пальцевой) не позиционной СС - значение числа - количество пальцев - подсчитывается простым суммированием.
Единичная (палочная) СС. Древнеегипетская десятичная не позиционная СС.

За правильные ответы учащихся получают карточки.

III. Практическая часть. (20 мин.)

Практическая работа выполняется в графическом редакторе. Учащимся предоставляются две заготовки: египетская нумерация, китайская нумерация (см. презентацию).

Работа состоит из двух заданий:

Непозиционная система счисления - Египетская нумерация.
Позиционная система счисления - Китайская нумерация

Задание. Необходимо использую инструменты редактирования графического редактора (копирование и вставка фрагментов) собрать дату своего рождения.

Учитель: «Мы сейчас будим выполнять практическую работу.

Заготовка находится

рабочий стол → папка «КЛАССЫ»→ папка «6_а»→ системы_счисления.jpg

Сохраните в своей папки под именем : СС_дата_рождения.ipg

Задание:

Напечатайте свою дату рождения (арабскими числами).
Использую расположенные символы, справа соберите дату рождения в предложенных системах счисления.
Определите вид системы счисления (позиционная или не позиционная).

Вывод (учащихся) : Использование Китайской системы счисления были непривычно, но удобнее, чем Египетской СС, так как она позиционная.

VI. Подведение итогов. (2 мин.) Выставление отметок

Учитель: Спасибо каждому участнику нашего сегодняшнего урока. Только совместная заинтересованная работа сделала возможным это увлекательное путешествие в прошлое. За активное участие и правильные ответы в игре получают отметки… За хорошую самостоятельную работу по заполнению таблицы получают отметки…

V. Домашнее задание. (2 мин.)

Домашнее задание задается или не задается по решению учителя.

Пример домашнего задания.

Сделать небольшое сообщение

Cлайд 1

Cлайд 2

Cлайд 3

Оглавление Системы счисления анатомического происхождения Пятеричная система счисления Десятичная система счисления Индийская поместная нумерация Двенадцатеричная система счисления Двадцатеричная система счисления Шестидесятеричная система счисления Алфавитные системы счисления Римская система счисления Славянская система счисления «Машинные» системы счисления

Cлайд 4

История возникновения и развития систем счисления Пятеричная система счисления По свидетельству известного исследователя Африки Стенли, у ряда африканских племен была распространена пятеричная система счисления. Долгое время пользовались пятеричной системой счисления и в Китае. Очевидна связь этой системы счисления со строением человеческой руки.

Cлайд 5

Системы счисления анатомического происхождения Десятичная система счисления Язык чисел, как и любой другой, имеет свой алфавит. В том языке чисел, которым мы обычно пользуемся, алфавитом служат десять цифр - от 0 до 9. Это десятичная система счисления. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Десять пальцев рук - вот аппарат для счета, которым человек пользуется с доисторических времен. Древнее изображение десятичных цифр не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 - углов нет, 1 - один угол, 2 - два угла и т.д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке. Исторически десятичная система счисления сложилась и развивалась в Индии. Европейцы заимствовали индийскую тему счисления у арабов, назвав ее арабской, а исторически неправильное название удерживается и поныне. Возникновение и развитие десятичной системы счисления явилось одним из важнейших достижении человеческой мысли (наряду с появлением письменности). Однако десятичной системой счисления люди пользовались не всегда. В разные исторические периоды многие народы использовали другие системы счисления.

Cлайд 6

Индийская поместная нумерация В различных областях Индии существовали разнообразные системы нумерации. Одна из них распространилась по всему миру и в настоящее время является общепринятой. В ней цифры имели вид начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке - санскрите (алфавит "девангари"). Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3 ... 9, 10, 20, 30 ... 90, 100, 1000; с их помощью записывались другие числа. Впоследствии был введен особый знак (жирная точка, кружок) для указания пустующего разряд, знаки для чисел, больших 9, вышли из употребления, и нумерация "девангари" превратилась в десятичную поместную систему. Как и когда совершился этот переход, до сих пор неизвестно. История возникновения и развития систем счисления

Cлайд 7

К середине VIII в. позиционная система нумерации получает в Индии широкое применение. Примерно в это время она проникает и в другие страны (Индокитай, Китай, Тибет, на территорию наших среднеазиатских республик, в Иран и др.). Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное в начале IX в. Мухаммедом из Хорезм (ныне Хорезмская область Узбекистана). Оно было переведено в Западной Европе на латинский язык в XII в. В XIII в. индийская нумерация получает преобладание в Италии. В других странах Западной Европы она утверждается в XVI в. Европейцы, заимствовавшие индийскую нумерацию от арабов, называли ее арабской. Это исторически неправильное название удерживается и поныне. История возникновения и развития систем счисления

Cлайд 8

Системы счисления анатомического происхождения Двенадцатеричная система счисления Довольно широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Происхождение тоже связано со счетом на пальцах. Считали большой палец руки и фаланги остальных четырех пальцев: всего их 12 (см. рис). Элементы двенадцатеричной системы счисления сохранились в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам). Нередко и мы сталкиваемся в быту с двенадцатеричной системой счисления; чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков - 12 штук.

Cлайд 9

История возникновения и развития систем счисления Двадцатеричная система счисления У ацтеков и майя - народов, населявших в течение многих столетий обширные области Американского континента и создавших там высочайшую культуру, в том числе и математическую, была принята двадцатеричная система счисления. Также двадцатеричная система счисления была принята и у кельтов, населявших Западную Европу начиная со II тысячелетия до нашей эры. Основу для счета в этой системе счисления составляли пальцы рук и ног. Некоторые следы двадцатеричной системы счисления кельтов сохранились во французской денежной системе: основная денежная единица, франк, делится на 20 (1 франк = 20 су).

Cлайд 10

История возникновения и развития систем счисления Шестидесятеричная система счисления Особый интерес представляет так называемая "вавилонская", или шестидесятеричная система счисления, весьма сложная система, существовавшая в Древнем Вавилоне. Мнения историков по поводу того, как именно возникла эта система счисления, расходятся. Существуют две гипотезы. Первая исходит из того, что произошло слияние двух племен, одно из которых пользовалось шестеричной, другое - десятичной. Шестидесятеричная система счисления в данном случае могла возникнуть в результате своеобразного политического компромисса. Суть второй гипотезы в том, что древние вавилоняне считали продолжительность года равной 360 суткам, что естественно связано с числом 60. Отголоски использования этой системы счисления дошли до наших дней. Например: 1 час = 60 минутам, 1° = 60‘. В целом шестидесятеричная система счисления громоздка.

Cлайд 11

История возникновения и развития систем счисления Римская система счисления Эта система счисления появилась в Древнем Риме. Запись чисел в римской системе счисления показана на рисунке. Первые 12 натуральных чисел в римской системе счисления записываются так: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII. Примеры записи чисел: XXVIII -28, MCMXXXV – 1935. Трудность выполнения арифметических действий с этими числами иллюстрируется. По этой причине в настоящее время Римская система счисления используется там, где это удобно в литературе (нумерация глав), в оформлении документах (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях – на циферблате часов и в ряде других случаях. Попробуй посчитать! Легко ли получить результат арифметических действий в римской системе счисления?

Cлайд 12

История возникновения и развития систем счисления Славянская системы счисления Алфавитные системы счисления представляют особую группу. В них для записи чисел использовался буквенный алфавит. Примером алфавитной системы счисления является славянская. У одних славянских народов числовые значения букв устанавливались в порядке следования букв славянского алфавита, у других, в частности у русских, роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. Над буквой, обозначающей цифру, ставился специальный знак - "титло". Славянская система счисления сохранилась в богослужебных книгах. Алфавитная система счисления была распространена у древних армян, грузин, греков (ионическая система счисления), арабов, евреев и других народов Ближнего Востока.

Cлайд 13

История возникновения и развития систем счисления «Машинные» системы счисления Перед математиками и конструкторами в 50-х гг. встала проблема отыскания таких систем счисления, которые отвечали бы требованиях как разработчиков ЭВМ, так и создателей программного обеспечения. Оказалось, что арифметический счет, которым человечество пользуется с древнейших времен, может совершенствоваться, подчас весьма неожиданно и на удивление эффективно. Специалисты вывели так называемую «машинную» группу систем счисления и разработали способы преобразование чисел этой группы. К «машинной» группе систем счисления относятся: двоичная; восьмеричная; шестнадцатеричная. Официальное рождение двоичной арифметики связано с именем Г. В. Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами. История возникновения и развития систем счисления

История систем счисления

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведем свой семейный бюджет в рублях и копейках и т.д. и т.п. Числа, цифры … они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос не простой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но в любом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

Эти символы, участвующие в записи числа, в математике принято называть цифрами .

Но что же люди понимают тогда под словом число ?

Первоначально понятие отвлеченного числа отсутствовало, число было «привязано» к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлеченное понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности.

Сегодня, в начале XXI века, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

Система счисления – это способ записи (изображения) чисел.

Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающее число. Например, наша привычная десятичная система счисления является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначается количество десятков и «вносит» в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и «вносит» в величину числа 300.

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от ее места в записи числа, называется непозиционными. Примером непозиционной системы счисления является римская система счисления.

Позиционные системы счисления – результата длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

Единичная система

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди научились считать. Количество предметов, например, мешков, изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было еще очень далеко). Каждому мешку в такой записи соответствовала одна черточка. Археологами найдены такие «записи» при раскопках культурных слоев, относящихся к периоду палеолита (10-11 тысяч лет до н.э.).

Ученые назвали такой способ записи чисел единичной («палочной») системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков - палочка. Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых равнялось обозначаемому числу.

Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность ее применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек; при записи большого числа легко ошибиться - нанести лишнее количество палочек или, наоборот, не дописать палочки.

Можно предположить, что для облегчения счета люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи стали использовать знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Так как люди, естественным образом, при подсчете использовали пальцы рук, то первыми появились знаки для обозначения групп предметов из 5 и 10 штук (единиц). И, таким образом, возникли уже более удобные системы записи чисел.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система

Древнеегипетская десятичная непозиционная система возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э. Бумагу заменяла глиняная дощечка, и именно поэтому цифры имеют такое начертание.

В древнеегипетской системе счисления использовались специальные знаки (цифры) для обозначения чисел 1, 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 10 6 , 10 7 . Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих «цифр», в которых каждая «цифра» повторялась не более девяти раз.

В основе как палочной, так и древнеегипетской систем счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи.

Например, число 345 древние египтяне записывали так:

Ученые относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.

Вавилонская шестидесятеричная система

Так же далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации - вавилонской - люди записывали цифры по-другому.

Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц и лежачий клин - для обозначения десятков. Клинья-то и служили «цифрами» в этой системе. Число 60 снова обозначалось тем же знаком (прямой клин), что и 1. Этим же знаком обозначались числа 3600 = 60 2 , 216000 = 60 3 и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.

Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Чередование групп одинаковых знаков («цифр») соответствовало чередованию разрядов: (Эта запись соответствует числу 132 = 2 * 60 + 12).

Значение числа определяли по значениям составляющих его «цифр», но с учетом того, что «цифры» в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же «цифр» в предыдущем разряде.

Число 92 = 60 + 32 записывали так: , а число 444 = 7 * 60 + 24 в этой системе записи чисел имело вид: .

Запись числа у вавилонян была неоднозначной, т.к. не существовало цифры для обозначения нуля. Запись числа 92, приведенная выше, могла обозначать не только 92 = 60 + 32, но и, например, 3632 = 3600 + 32 = 60 2 + 32. Для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда - , что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа.

Число 3632 теперь нужно было записывать так: .

Но в конце числа этот символ обычно не ставился, то есть этот символ не был нулем в нашем понимании. Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, так как это было практически невозможно. При вычислениях они пользовались готовыми таблицами умножения.

Шестидесятеричная вавилонская система - первая известная нам система счисления, основанная на позиционном принципе.

Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, ее следы сохранились до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд.

Точно так же, следуя примеру вавилонян, окружность мы делим и 360 частей (градусов).

Римская система счисления

Знакомая нам римская система счисления принципиально ненамного отличается от египетской. Но она более распространена в наши дни: в книгах, в фильмах.

В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, С, D и M (соответственно), являющиеся «цифрами» этой системы счисления.

Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд «цифр». Значение числа равно:

1) сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых «цифр» (назовем их группой первого вида);

2) разности значений двух «цифр», если слева от большей «цифры» стоит меньшая. В этом случае от значения большей «цифры» отнимается значение меньшей «цифры». Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что левая «цифра» может быть меньше правой максимум на один порядок: так перед L(50) и С(100) из «младших» может стоять только Х(10), перед D(500) и М(1000) - только С(100), перед V(5) - только I(1);

3) сумме значений групп и «цифр», не вошедших в группы первого или второго вида.

Например, число 32 в римской системе счисления имеет вид

XXXII = (X + Х + X) + (I + I) = 30 + 2 (две группы первого вида).

Число 444, имеющее в десятичной записи 3 одинаковые цифры, в римской системе счисления будет записано в виде СDХLIV = (D - С) + (L - X) + (V - I) = 400 +40+4 (три группы второго вида).

Число 1974 в римской системе счисления имеет вид МСМLХХIV = М + (М - С) + L + (X + X) +

(V - I) = 1000 + 900 +50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные «цифры»).

Алфавитные системы

Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились славянская, ионийская (греческая), финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита. Алфавитная система была принята и в древней Руси.

Числа от 1 до 10 записывали так:

Над буквами, обозначавшими числа, ставился специальный знак «  » - титло. Это делалось для того, чтобы отличить числа от обычных слов:

Интересно, что числа от 11 (один - на десять) до 19 (девять - на десять) записывали так же, как говорили, то есть «цифру» единиц ставили до «цифры» десятков.

Если число не содержало десятков, то «цифру» десятков не писали. Удобны ли алфавитные системы?

Мы видим, что запись получилась не длиннее нашей десятичной. Это объясняется тем, что в алфавитных системах использовалось, по крайней мере, 27 «цифр». Но эти системы были удобны только для записи чисел до 1000.

Правда, славяне, как и греки, умели записывать числа и большие 1000. Для этого к алфавитной системе добавляли новые обозначения. Так, например, числа 1000, 2000, 3000... записывали теми же «цифрами», что и 1, 2; 3..., только перед «цифрой» ставили слева снизу специальный знак ≠.

Число 10000 обозначалось той же буквой, что и 1, только без титла, ее обводили кружком. Называлось это число «тьмой». Отсюда и произошло выражение «тьма народу».

Таким образом, для обозначения «тем» (множественное число от слова тьма) первые 9 «цифр» обводились кружками.

10 тем, или 100 000, было единицей высшего разряда. Ее называли «легион». 10 легионов составляли «леорд». Самая большая из величин, имеющих свое обозначение, называлась «колода», она равнялась 1050. Считалось, что «боле сего несть человеческому уму разумевати».

Алфавитные системы счисления были мало пригодны для оперирования с большими числами. В ходе развития человеческого общества эти системы уступили место позиционным системам.

Индийская мультипликативная система

Системы счисления, основанные на позиционном принципе, возникли независимо одна от другой в древнем Междуречье (Вавилон), у племени Майя и, наконец, в Индии. Все это говорит о том, что возникновение позиционного принципа не было случайностью.

Каковы же были предпосылки для его создания? Что привело людей к этому замечательному открытию?

Чтобы ответить на эти вопросы, мы снова обратимся к Истории о древнем Китае, Индии и в некоторых других странах существовали системы записи, построенные на мультипликативном принципе.

Следующей ступенью к позиционному принципу было опускание названий разрядов при письме подобно тому, как мы говорим «три двадцать», а не «три рубля двадцать копеек ». Но при записи чисел по такой системе очень часто требовался символ для обозначения отсутствующего разряда.

Пусть, например, десятки обозначаются символом X, а сотни - у. Тогда запись числа 323 схематично будет выглядеть так: ЗУ 2Х 3.

В таких системах для записи одинакового числа единиц, десятков, сотен или тысяч применяются одни и те же символы, но после каждого символа пишется название соответствующего разряда. С использованием введенных обозначений число 100 можно записать в виде 1У.

Чуть позже перестали писать названия разрядов, и это стало следующей ступенью к позиционному принципу (подобно тому, как мы пишем «320», а не «3 сотни, 2 десятка»). Но при записи чисел по такой системе очень часто требовался символ для обозначения отсутствующего разряда.

Появление нуля

Современная десятичная система счисления возникла в Индии приблизительно в V веке н.э. Возникновение этой системы стало возможным после величайшего изобретения – цифры 0 для обозначения отсутствующей величины.

Как же появился ноль?

Вспомним, что уже вавилоняне употребляли специальный символ для обозначения нулевого значения разряда. Примерно во II веке до н.э. с астрономическими наблюдениями вавилонян познакомились греческие ученые. Вместе с их вычислительными таблицами они переняли и вавилонскую систему счисления, но числа от 1 до 59 они записывали не с помощью клиньев, а в своей алфавитной нумерации. Но самым замечательным было то, что для обозначения нулевого значения разряда греческие астрономы стали использовать символ О (по первой букве греческого алфавита слова O  - ничто ). Этот знак, по-видимому, и был прообразом современного нуля.

Десятичная система счисления

Индийцы познакомились с греческой астрономией между II и VI вв. н.э., переняв общетеоретические положения этой науки и многие греческие термины. В это время в Индии уже использовалась мультипликативная система счисления. По утверждению историков, примерно в это же время там познакомились и с вавилонской системой счисления, и с греческим круглым нулем. Соединив свою десятичную мультипликативную систему с принципами нумерации числе греческих астрономов, индийские ученые сделали завершающий шаг в создании всем известной десятичной системы счисления.

В современной десятичной системе счисления, которая является позиционной, используется 10 арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Почему мы называем наши цифры арабскими? Дело в том, что с возникшей в Индии десятичной системой счисления первыми познакомились арабы. Они по достоинству ее оценили и начали использовать при подсчетах в торговых операциях. Именно арабы завезли эту систему счисления в Европу. И с начала XII века десятичная система получила распространение во всей Европе под названием арабской.

Будучи проще и удобнее остальных систем, она достаточно быстро вытеснила все другие способы записи чисел. Вот с тех пор цифры, используемые для записи чисел в десятичной системе счисления, и называют арабскими.

В данной таблице показано постепенное видоизменение цифр, употреблявшихся арабами.

Слайд 2

Что мы знаем о цифрах и системе счисления?

Сейчас в большинстве стран мира, несмотря на то, что там говорят на разных языках, считают одинаково, "по-арабски". Цифры: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Числа: 564; 0,2078; 875,5; 6/7; 01.01.04; 12:30. Цифры - знаки, которыми записываются числа. Система счисления - способ записи чисел с помощью цифр. Но так было не всегда. Еще каких-топятьсот лет назадничего подобного не было.

Слайд 3

Зачем мы учились считать?

Камешки, ракушки, косточки Cимволы - черточку или другую отметку Не былослов, чтобы обозначить цифры. Самая простая система счисления В этой системе счисления для записи чисел используется только одна цифра. Такая система счисления использовалась, и до сих пор используется в основном народами, не имеющими письменности.

Слайд 4

Позднее человек начал считать с помощьюпальцев на руке. Так как у нас 10 пальцев наруках,это привело к использованию цифры10 в системах счетаТакой системой счисления пользуются и современные люди:- отмечая зарубками количество прошедших дней, или карандашом отмечая черточками в тетради количество проданных товаров; - дети учатся считать на пальцах.

Слайд 5

Индейцы инароды Древней Азии при счете завязывали узелки на шнурках разной длины и цвета. Узелки, называли вспоминателем.

Слайд 6

Древний народ Майя вместо цифр рисовал страшные головы, как у пришельцев.

Слайд 7

Тогда стали люди придумывать как по другому записыватьбольшие числа. Для начала решили, чтокаждые 10 палочек заменять загогулинкой, и счет пошел легче!

Слайд 8

Нумерация индейцев Майя Записывались цифры числа в столбик, начиная со знаков затем знаки, а потом большихзначений и заканчивая меньшими. 591623 20+20+5+5+5+1+1+1+1 = 59; 5+5+5+1 = 16; 20+1+1+1 = 23 Такая запись числа аддитивна, то есть в ней используется только сложение:

Слайд 9

Эта нумерация очень интересна тем, что на ее развитие не повлеялась ни одна из цивилизаций Старого Света. Однако в ней использованы все те же принципы. Сначала эта нумерация обслуживала пятиричную систему счисления, а потом ее приспособили для двадцатиричной.

Слайд 10

Египетская нумерация

Слайд 11

Египетская нумерация 1 Для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки.Если палочек нужно изобразить несколько, то их изображали в два ряда, причем в нижнем должно быть столько же палочек сколько и в верхнем, или на одну больше.10. Такими путами египтяне связывали коровЕсли нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам.100. Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила.1 000. Вы когда-нибудь видели цветущий лотос? Если нет, то вам никогда не понять, почему Египтяне присвоили такое значение изображению этого цветка.

Слайд 12

10 000."В больших числах будь внимателен!" - говорит поднятый вверх указательный палец.100 000. Это головастик. Обычный лягушачий головастик.1 000 000. Увидев такое число обычный человек очень удивится и возденет руки к небу. Это и изображает этот иероглиф10 000 000. Египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, и, наверное, поэтому самое большое свое число они изобразили в виде восходящего солнца.

Слайд 13

1205, - 1 023 029Попробуйте сложить эти два числа! Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду.

Слайд 14

Число 5656 

Очень неудобно хранить хрупкие и тяжелые глиняные таблички.

Слайд 15

Такая система счисления уже годится для записи чисел, но она крайне неудобна для счета. Не захотелось людям вырисовывать по десятку палочек да загогулинок, и решили каждое круглое число обозначить по-особому. Но для этого потребовалось большое количество цифр-символов, и, чтобы не изобретать велосипед, решили использовать алфавит. Такая система очень долго использовалась по всей Европе, и во многих государствах за ее пределами.

Слайд 16

Древняя греческая нумерация Храм Посейдона в Пестуме

Слайд 17

«Ионийская» система в Греции (III веке до нашей эры) Примерно втретьем веке до нашей эрыаттическая нумерация в Греции была вытеснена другой, так называемой "Ионийской" системой. В ней числа 1 - 9 обозначаются первыми буквами греческого алфавита: числа 10, 20, … 90 изображались следующими девятью буквами: числа 100, 200, … 900 последними девятью буквами:

Слайд 18

Славянская глаголическая нумерация(с VIII по XIII) Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали. В записи числа используется только сложение: = 800+60+3 = 863 титла - горизонтальные черточки над числами

Слайд 19

Что этозачисла? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Слайд 20

Славянская кириллическая нумерация (с IX до XVII века) Эта нумерация была создана вместесо славянской алфавитнойсистемой для переписки священных книг для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX веке.

Слайд 21

До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.

Слайд 22

Чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, что мы видим на рисунке.Для обозначения больших, чем 900 чисел использовались специальные значки, добавляемые к букве. Так образовывались числительные Тысяща - 1 000, Леон - 10 000, Одр - 100 000, Вран (ворон) - 1 000 000, Колода - 10 000 000, Тьма - 100 000 000.

Слайд 23

Латинская (Римская) нумерация О её происхождении достоверных сведений нет. В языке же римлян ни каких следов пятеричной системы нет. Значит, эти цифры были заимствованы римлянами у другого народа (скорее всего этрусков). Возникла эта нумерация в древнем Риме. I V X L CD M 1 5 10 50 100 5001000 CCXXXVII = 100+100+10+10+10+5+1+1 = 237 Но XXXIX = 10+10+10-1+10 = 39 Такая нумерация преобладала в Италии до XIII века, а в других странах Западной Европы - до XVI века.

Слайд 24

Но далеко не все народы делали свои записи с помощью алфавита или слоговых знаков (об алфавитах и слоговых знаках здесь). В Китае иероглифы не позволили появиться такой системе счисления, и тогда ученые изобрели немного другую систему, названную мультипликативная система счисления. Эта система имела одно очень важное свойство: в ней одна и та же цифра, в зависимости от расположения в записи числа могла иметь разные значения. Именно такой системой счисления мы с Вами сейчас и пользуемся.

Слайд 25

Китайская нумерация(около 4 000 тысяч лет). Эта нумерация одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложенытакие жепринципы, как и в современную арабскую, которой мы с Вами пользуемся. Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими.

Слайд 26

12 3 104 56 100789 1000 Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду. (Во времена династии Мин был введен знак для пустого разряда - кружок - аналог нашего нуля). Чтобы не перепутать разряды использовали несколько служебных иероглифов, писавшихся после основного иероглифа, и показывающих какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде.

Слайд 27

Индийская нумерация К середине 8 века позиционная Система нумерации получает в Индии широкое применение. А также и в другие страны (Индокитай, Китай, Тибет, на территорию среднеазиатских государств, в Иран и др.). Распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное в начале 9 века Мухаммедом из Хорезма (ныне Хорезмская область Узбекскистана). Оно было переведено в Западной Европе на латинский язык в12 веке.

Слайд 28

В 13 веке индийская нумерация получает преобладание в Италии. В других странах Западной Европы она утверждается в 16 веке. Европейцы, заимствовавшие индийскую нумерацию от арабов, называли ее "арабской". Та форма, в которой мы их пишем, установилась в16 векеЭто исторически неправильное название удерживается и поныне.Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Арабская

Слайд 29

Cистемы счисления бывают непозиционными и позиционными. Основания бывают различны. В древние времена не существовало единой для всех стран системы счета. Некоторые системы исчисления брали за основу 12, другие - 60, третьи - 20, 2, 5, 8.