Dotas 2 krustojošas plaknes, vai plakne eksistē. Divu plakņu savstarpēja izkārtošanās

Tests par tēmu “Taisnes un plaknes savstarpēja izkārtošanās. Divu plakņu savstarpēja izkārtojums "

Izvēlieties vienu pareizo atbildi no piedāvātajām iespējām:

Tiek uzskatīts, ka divas līnijas telpā krustojas, ja:

A - viņiem nav kopīgu punktu

B - jūs nevarat zīmēt plakni caur tiem

C - tie atrodas vienā plaknē un nekrustojas

Telpā ir dota taisne un tai nepiederošs punkts. Cik līniju, kas nekrusto doto taisni, iet caur šo punktu:

A ir vienīgā rinda

B - divas dažādas līnijas

C - līniju kopa

Taisni a krustojas ar taisnu līniju b , un taisna līnija b krustojas ar taisnu līniju c . Vai no tā izriet, ka tiešā a Un c krustojas:

A - nē, tie var būt paralēli

B - jā, taisni a Un c krustojas

C - nē, tie var krustoties vai būt paralēli

Ir dotas divas krustojošas plaknes. Katrā no tām atrodas taisne, kas krustojas ar plakņu krustošanās līniju. Nosakiet šo līniju atrašanās vietu viena pret otru:

A - šīs līnijas vai nu krustojas, vai krustojas

B - šīs līnijas krustojas

C - šīs līnijas var krustoties, vai paralēli, vai krustoties

Vai tā ir taisnība, ka divas taisnes, kas ir paralēlas vienai plaknei, ir paralēlas viena otrai:

Ak jā, pareizi

B - nē, līnijas var krustoties

C - nē, līnijas var krustoties vai krustoties

Vai tā ir taisnība, ka plaknei paralēla taisne ir paralēla jebkurai taisnei šajā plaknē?

Ak jā, pareizi

B - nē, tas ir paralēls tikai vienai taisnei, kas atrodas šajā plaknē

C - nē, tā nav taisnība

Ir dotas divas krustojošas plaknes. Vai ir plakne, kas krusto divas noteiktas plaknes pa paralēlām līnijām:

Un – jā, tādu lidmašīnu ir daudz

B - jā, ir viena tāda lidmašīna

C - nē, tādas lidmašīnas neeksistē

Vai vienai un tai pašai taisnei paralēlas plaknes var krustoties?

Un jā, viņi var

B - nē, tie būs paralēli

C - nē, tie sakrīt

Lidmašīna α paralēli plaknei β , lidmašīna β paralēli plaknei ϕ . Kā tiek sakārtotas lidmašīnas? α Un ϕ:

A - plaknes krustojas

B - plaknes ir paralēlas

Dan kubs ABCDMEFN .

Kuras kuba malas būs paralēlas malai CD :

A - ABCD Un MEFN

IN - ABEM Un CDNF

C – ABEM Un MEFN

Norādiet kuba malas, kas krustojas ar malu MN :

A - AB, BC, EF Un CD

IN - AB, BE, CD Un CF

C – AM, ES, DN Un NF

Cik paralēlu plakņu pāru iet cauri kuba virsmām:

A-3

4. plkst

C-6

Cik paralēlu malu pāru ir kubam:

A-12

B-18

C-24

Kā tiek sakārtotas līnijas? AC Un D.F. :

A - krustojums

B - krustojas

C - paralēli

Vērtēšanas kritēriji:

Veiksmi!

Divas plaknes telpā var būt vai nu savstarpēji paralēlas, konkrētā gadījumā sakrist viena ar otru, vai arī krustoties. Savstarpēji perpendikulāras plaknes ir īpašs krustošanās plakņu gadījums.

1. Paralēlas plaknes. Plaknes ir paralēlas, ja divas vienas plaknes krustojošās taisnes ir attiecīgi paralēlas divām citas plaknes krustojošām taisnēm.

Šo definīciju labi ilustrē uzdevums, izmantojot punktu B, uzzīmēt plakni, kas ir paralēla plaknei, kas dota ar divām krustojošām taisnēm ab (61. att.).

Uzdevums. Dots: lidmašīna vispārējā nostāja, ko nosaka divas krustojošas līnijas ab un punkts B.

Caur punktu B ir jānozīmē plakne, kas ir paralēla plaknei ab, un jādefinē tā ar divām krustojošām taisnēm c un d.

Saskaņā ar definīciju, ja divas vienas plaknes krustošanās taisnes ir attiecīgi paralēlas divām citas plaknes krustojošām taisnēm, tad šīs plaknes ir paralēlas viena otrai.

Lai diagrammā uzzīmētu paralēlas līnijas, ir jāizmanto paralēlās projekcijas īpašība - paralēlo līniju projekcijas ir paralēlas viena otrai

d//a, с//b Þ d1//a1,с1//b1; d2//a2 ,с2//b2; d3//a3,с3//b3.

61. attēls. Paralēlas plaknes

2. Krustošas ​​plaknes,īpašs gadījums - savstarpēji perpendikulāras plaknes. Divu plakņu krustošanās līnija ir taisne, kuras uzbūvēšanai pietiek noteikt tās divus abām plaknēm kopīgos punktus jeb vienu punktu un plakņu krustošanās līnijas virzienu.

Aplūkosim divu plakņu krustošanās līnijas uzbūvi, kad viena no tām ir izvirzīta (62. att.).

Uzdevums. Dots: plakne vispārējā stāvoklī ir norādīta ar trijstūri ABC, un otrā plakne ir horizontāli izvirzīta a.

Nepieciešams izveidot plakņu krustošanās līniju.

Uzdevuma risinājums ir atrast divus punktus, kas kopīgi šīm plaknēm, caur kuriem var novilkt taisnu līniju. Trijstūra ABC definēto plakni var attēlot kā taisnes (AB), (AC), (BC). Taisnes (AB) krustpunkts ar plakni a - punkts D, taisne (AC) -F. Segments nosaka plakņu krustošanās līniju. Tā kā a ir horizontāli izvirzīta plakne, projekcija D1F1 sakrīt ar plaknes aP1 trasi, tāpēc atliek tikai konstruēt trūkstošās projekcijas uz P2 un P3.

62. attēls. Vispārējā stāvokļa plaknes krustojums ar horizontāli izvirzītu plakni

Pāriesim pie vispārējā gadījuma. Telpā ir dotas divas vispārīgas plaknes a(m,n) un b (ABC) (63. att.)

63. attēls. Plakņu krustpunkts vispārējā stāvoklī

Aplūkosim plakņu a(m//n) un b(ABC) krustošanās līnijas konstruēšanas secību. Pēc analoģijas ar iepriekšējo uzdevumu, lai atrastu šo plakņu krustošanās līniju, mēs uzzīmējam palīgplaknes g un d. Atradīsim šo plakņu krustošanās līnijas ar aplūkojamajām plaknēm. Plakne g krusto plakni a pa taisni (12), un plakne b - pa taisni (34). Punkts K - šo taisnu krustpunkts vienlaikus pieder trim plaknēm a, b un g, tādējādi būdams punkts, kas pieder plakņu a un b krustošanās līnijai. Plakne d krusto plaknes a un b pa taisnēm (56) un (7C), to krustpunkts M atrodas vienlaikus trijās plaknēs a, b, d un pieder pie plakņu a un b krustošanās taisnes. Tādējādi tiek atrasti divi punkti, kas pieder plakņu a un b krustošanās līnijai - taisnei (KM).

Plakņu krustošanās līnijas izveidošanu var nedaudz vienkāršot, ja palīgplaknes tiek novilktas caur taisnēm, kas nosaka plakni.

Savstarpēji perpendikulāras plaknes. No stereometrijas ir zināms, ka divas plaknes ir savstarpēji perpendikulāras, ja viena no tām iet caur perpendikulu otrai. Caur punktu A var uzzīmēt plakņu kopu, kas ir perpendikulāra dotajai plaknei a (f, h). Šīs plaknes telpā veido plakņu saišķi, kuras ass ir no punkta A uz plakni a nomestais perpendikuls. Lai uzzīmētu plakni, kas ir perpendikulāra plaknei, ko dod divas krustojošās taisnes hf no punkta A, ir jānovelk taisne n, kas ir perpendikulāra plaknei hf no punkta A (horizontālā projekcija n ir perpendikulāra horizontālajai horizontālajai projekcijai h, frontālā projekcija n ir perpendikulāra frontālās f) frontālajai projekcijai. Jebkura plakne, kas iet caur taisni n, būs perpendikulāra plaknei hf, tāpēc, lai iestatītu plakni caur punktiem A, mēs novelkam patvaļīgu līniju m. Plakne, kas dota ar divām krustojošām taisnēm mn būs perpendikulāra plaknei hf (64. att.).

64. attēls. Savstarpēji perpendikulāras plaknes

Divas plaknes krustojas taisnā līnijā, kuras uzbūvēšanai pietiek vai nu noteikt divus plaknēm kopīgus punktus, vai arī vienu punktu un krustojuma līnijas virzienu.

Apskatīsim uzdevumus plakņu krustošanās līnijas projekciju konstruēšanai un to novietojumam attiecībā pret projekcijas plaknēm.

1. Ja plaknes ir dotas ar pēdām un pēdas krustojas zīmējuma ietvaros (4.14.a att.), tad tāda paša nosaukuma pēdu krustpunktā tiek noteikti divi krustojuma līnijas punkti. 1. punkts ir horizontālo pēdu krustpunkts, 2. punkts ir frontālo pēdu krustpunkts. Līnija l(1 1 1 2) - plakņu l un å krustošanās līnija.

Rīsi. 4.14a. Lidmašīnas dod pēdas.

2. Viens no plakņu krustošanās īpašajiem gadījumiem, kad viens no tiem ir izvirzīta plakne (4.14.b att.).

Problēma tiek samazināta līdz taisnes otrās projekcijas noteikšanai, kas pieder gan projicēšanas plaknei, gan plaknei vispārējā stāvoklī.

Nosakām projekcijas plaknes atbilstošās pēdas krustošanās punktus ar 1. un 2. punktu vispārējā stāvokļa plakni. Nosakām otro projekciju pa sakaru līnijām. Pēc tam ir jānosaka vispārējā stāvokļa plaknes nodalījumu redzamība attiecībā pret krustojuma līniju.

Rīsi. 4.14b. Viena no lidmašīnām ir izvirzīta.

3. Dažos gadījumos plakņu krustošanās līnija ir noteiktas pozīcijas līnija (4.14.c att.).

Apskatīsim problēmas plakņu krustojumā horizontāli. Pirmajā uzdevumā viena no plaknēm l ir horizontāla līmeņa plakne, tātad krustojuma projekcijas priekšējā līnija h 2 sakrīt ar šīs plaknes pēdu un ir horizontāls. Horizontālo projekciju nosaka pēdu un virziena krustošanās punkts 1 h 1 || l 1 .

Rīsi. 4.14c. Krustojums pa privātās pozīcijas līnijām.

Otrajā uzdevumā plakņu horizontālās pēdas vispārējā stāvoklī ir paralēlas l 1 || e 1 . Tāpēc krustojuma līnijas horizontālā projekcija būs tām paralēla h 1 || l 1 || å 1 , un frontālais iet caur frontālo pēdu krustpunkta 1. punktu.

Šķērsošanas gadījumi gar fronti ir līdzīgi. Ir arī citi īpaši plakņu krustošanās gadījumi, kad krustojuma līnija ir izvirzītās līnijas.

4. Plakņu krustošanās vispārīgais gadījums, kad zīmējumā uzreiz netiek noteikti šīm plaknēm kopīgie punkti. Šādas problēmas risināšanai tiek izmantotas griešanas palīgplaknes, parasti privātas pozīcijas - vai nu līdzenas plaknes, vai izvirzītas.

Apsveriet piemēru attēlā. 4.15.

Dotas divas plaknes, ko nosaka paralēlas līnijas ( A || b) un trīsstūri ABC. Lai noteiktu divus kopējos šo plakņu punktus, mēs atrisinām uzdevumu saskaņā ar algoritmu:

1. Ievadiet pirmo papildu horizontālo līmeņa plakni å.

2. Mēs veidojam katras dotās plaknes krustošanās līnijas ar palīglīniju ( un || b) Ç å ® h å ( ABC) Ç å ® h e . Šīs līnijas ir šo plakņu kontūras.

3. Nosakiet krustojuma taisnes krustpunktu. I punkts ir kopīgs šīm lidmašīnām.

Rīsi. 4.15. Vispārīgs plakņu krustošanās gadījums.

1) Dota taisne un divas krustojošas plaknes. Aprakstiet visus iespējamos to savstarpējās vienošanās gadījumus.

2) Dotas divas krustojošas plaknes. Vai ir plakne, kas krusto divas noteiktas plaknes pa paralēlām līnijām?

2. Dotas divas taisnes, kas krustojas punktā C. Vai kāda trešā taisne atrodas kopā ar tām vienā plaknē, kurai ir kopīgs punkts ar katru no dotajām taisnēm?

3.

4. Attālums starp divām paralēlām plaknēm ir 8 cm, starp tām atrodas līnijas segments, kura garums ir 17 cm, lai tā gali piederētu plaknēm. Atrodiet šī segmenta projekciju katrā plaknē.

5. Pabeidziet teikumu, lai iegūtu pareizo teikumu:

D) nezinu

6. Līnijas a un b ir perpendikulāras. Punkti A un B pieder taisnei a, punkti C un D pieder taisnei b. Vai līnijas AC un BD atrodas vienā plaknē?

7. Kubā ABCDA1B1C1D1 ir novilktas skaldņu AC un B1D1 diagonāles. kāda ir viņu relatīvā pozīcija?

8. Kuba ABCDA1B1C1D1 mala ir vienāda ar m. Atrodiet attālumu starp līnijām AB un CC1.

A) 2m B) 1/2m C) m D) nezinu

9. Nosakiet, vai apgalvojums ir patiess:

A) jā B) nē C) ne vienmēr D) Es nezinu

10. Kubā ABCDA1B1C1D1 atrodiet leņķi starp plaknēm BCD un BCC1B1.

A) 90° B) 45° C) 0° D) 60°

11. Vai ir prizma ar tikai vienu sānu virsmu, kas ir perpendikulāra pamatnei?

A) jā B) nē C) Es nezinu

12. Vai kuboīda diagonāle var būt mazāka par sānu malu?

A) jā B) nē C) Es nezinu

13. Kāds ir kuba sānu virsmas laukums ar malu 10?

A) 40 B) 400 C) 100 D) 200

14. Kāds ir kuba kopējais virsmas laukums, ja tā diagonāle ir d?

A) 2d2 B) 6d2 C) 3d2 D) 4d2

15. Cik simetrijas plakņu ir regulārai četrstūra piramīdai?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6

16. Kāda ir jebkuras regulāras piramīdas aksiālā daļa?

A) vienādmalu trīsstūris

B) taisnstūris

B) trapece

D) vienādsānu trīsstūris

lūdzu, palīdziet man atrisināt testu

1. Cik kopīgu līniju var būt divām dažādām nesakrītošām plaknēm?
A) 1 B) 2 C) bezgalīgs skaitlis D) nav E) Es nezinu
2. Dotas divas taisnes, kas krustojas punktā C. Vai kāda trešā taisne atrodas kopā ar tām vienā plaknē, kurai ir kopīgs punkts ar katru no dotajām taisnēm?
A) vienmēr jā B) vienmēr nē C) melo, bet ne vienmēr D) Es nezinu
3. Nosakiet, vai apgalvojums ir patiess:
Divas plaknes ir paralēlas, ja tās ir paralēlas vienai un tai pašai taisnei.
A) jā B) nē C) Es nezinu D) ne vienmēr
4. Attālums starp divām paralēlām plaknēm ir 8 cm, starp tām atrodas taisnas līnijas segments, kura garums ir 17 cm, lai tā gali piederētu plaknēm. Atrodiet šī segmenta projekciju katrā plaknē.
A) 15 cm B) 9 cm C) 25 cm D) Es nezinu
5. Pabeidziet frāzi, lai iegūtu pareizo apgalvojumu:
Ja taisne, kas atrodas vienā no divām perpendikulārām plaknēm, ir perpendikulāra to krustojuma līnijai, tad tā ...
A) paralēli citai plaknei
B) krustojas ar citu plakni
B) perpendikulāri citai plaknei
D) nezinu
6. Taisnes a un b ir perpendikulāras. Punkti A un B pieder taisnei a, punkti C un D pieder taisnei b. Vai līnijas AC un BD atrodas vienā plaknē?
A) jā B) nē C) ne vienmēr D) nezinu
7. Kubā ABCDA1B1C1D1 ir ievilktas skaldņu AC un B1D1 diagonāles. kāda ir viņu relatīvā pozīcija?
A) krustojas B) krustojas C) paralēli D) nezinu
8. Kuba ABCDA1B1C1D1 mala ir vienāda ar m. Atrodiet attālumu starp līnijām AB un CC1.
A) 2m B) C) m D) nezinu
9. Nosakiet, vai apgalvojums ir patiess:
Ja divas taisnes veido vienādus leņķus ar vienu un to pašu plakni, tad tās ir paralēlas.
A) jā B) nē C) ne vienmēr D) nezinu
10. Kubā ABCDA1B1C1D1 atrodiet leņķi starp plaknēm BCD un BCC1B1.
A) 90 B) 45 C) 0 D) 60
11. Vai ir prizma ar tikai vienu sānu virsmu, kas ir perpendikulāra pamatnei?
A) jā B) nē C) Es nezinu
12. Vai taisnstūra paralēlskaldņa diagonāle var būt mazāka par sānu malu?
A) jā B) nē C) Es nezinu
13. Kāds ir kuba ar malu 10 sānu virsmas laukums?
A) 40 B) 400 C) 100 D) 200
14. Kāds ir kuba kopējais virsmas laukums, ja tā diagonāle ir d?
A) 2d2 B) 6d2 C) 3d2 D) 4d2
15. Cik simetrijas plakņu ir regulārai četrstūra piramīdai?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
16. Kāds ir jebkuras regulāras piramīdas aksiālais šķērsgriezums?
A) vienādmalu trīsstūris
B) taisnstūris
B) trapece
D) vienādsānu trīsstūris

Šajā sadaļā mēs turpinām pētīt tēmu par taisnas līnijas vienādojumu telpā no stereometrijas viedokļa. Tas nozīmē, ka taisnu līniju trīsdimensiju telpā uzskatīsim par divu plakņu krustošanās līniju.

Saskaņā ar stereometrijas aksiomām, ja divas plaknes nesakrīt un tām ir viens kopīgs punkts, tad tām ir arī viena kopīga taisne, uz kuras atrodas visi punkti, kas ir kopīgi abām plaknēm. Izmantojot divu krustojošu plakņu vienādojumus, varam definēt taisni taisnstūra koordinātu sistēmā.

Tēmas izskatīšanas gaitā mēs sniegsim daudzus piemērus, vairākas grafiskas ilustrācijas un detalizētus risinājumus, kas nepieciešami materiāla labākai asimilācijai.

Dotas divas plaknes, kas nesakrīt viena ar otru un krustojas. Apzīmēsim tos kā plakni α un plakni β . Novietosim tos trīsdimensiju telpas taisnstūra koordinātu sistēmā O x y z.

Kā atceramies, jebkura taisnstūra koordinātu sistēmas plakne definē plaknes vispārīgo vienādojumu formā A x + B y + C z + D = 0 . Mēs pieņemam, ka plakne α atbilst vienādojumam A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, un plakne β atbilst vienādojumam A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Šajā gadījumā plakņu α un β n 1 → \u003d (A 1, B 1, C 1) un n 2 → \u003d (A 2, B 2, C 2) normālie vektori nav kolineāri, jo plaknes nesakrīt viena ar otru un e novietotas paralēli viena otrai. Mēs rakstām šo nosacījumu šādi:

n 1 → ≠ λ n 2 → ⇔ A 1 , B 1 , C 1 ≠ λ A 2 , λ B 2 , λ C 2 , λ ∈ R

Lai atsvaidzinātu materiālu par tēmu “Lkmeņu paralēlisms”, skatiet atbilstošo mūsu vietnes sadaļu.

Plakņu krustošanās līnija tiks apzīmēta ar burtu a . Tie. a = α ∩ β . Šī līnija ir punktu kopa, kas ir kopīga abām plaknēm α un β. Tas nozīmē, ka visi taisnes a punkti apmierina abus plaknes vienādojumus A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 un A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Faktiski tie ir īpašs risinājums vienādojumu sistēmai A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Lineāro vienādojumu sistēmas A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 vispārīgais risinājums nosaka visu taisnes punktu koordinātas. pa kuru divu plakņu α un .beta krustpunkts. Tas nozīmē, ka ar tās palīdzību varam noteikt taisnes pozīciju taisnstūra koordinātu sistēmā O x y z .

Apskatīsim aprakstīto teoriju vēlreiz, tagad ar konkrētu piemēru.

1. piemērs

Taisne O x ir taisne, pa kuru krustojas koordinātu plaknes O x y un O x z. Plakni O x y definējam ar vienādojumu z = 0 , bet plakni O x z ar vienādojumu y = 0 . Šo pieeju mēs detalizēti apspriedām sadaļā “Nepilnīgs plaknes vispārīgais vienādojums”, tāpēc, ja rodas grūtības, mēs varam vēlreiz atsaukties uz šo materiālu. Šajā gadījumā koordinātu līniju O x trīsdimensiju koordinātu sistēmā nosaka divu vienādojumu sistēma formā y = 0 z = 0 .

Tāda punkta koordinātu atrašana, kas atrodas uz taisnes, pa kuru plaknes krustojas

Apskatīsim uzdevumu. Dota taisnstūra koordinātu sistēma O x y z trīsdimensiju telpā. Taisni, pa kuru divas plaknes krustojas ar a, nosaka vienādojumu sistēma A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Dots punkts trīsdimensiju telpā M 0 x 0 , y 0 , z 0 .

Noteiksim, vai punkts M 0 x 0, y 0, z 0 pieder dotai taisnei a .

Lai iegūtu atbildi uz problēmas jautājumu, katrā no diviem plaknes vienādojumiem aizstājam punkta M 0 koordinātas. Ja aizvietošanas rezultātā abi vienādojumi pārvēršas patiesās vienādībās A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 un A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0, tad punkts M 0 pieder katrai no plaknēm un pieder dotajai taisnei. Ja vismaz viena no vienādībām A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 un A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 ir nepatiesa, tad punkts M 0 nepieder pie taisnes.

Apsveriet risinājuma piemēru

2. piemērs

Taisni telpā uzrāda divu krustojošu plakņu vienādojumi formā 2 x + 3 y + 1 = 0 x - 2 y + z - 3 = 0 . Noteikt, vai punkti M 0 (1, - 1, 0) un N 0 (0, - 1 3 , 1) pieder plakņu krustojuma taisnei.

Risinājums

Sāksim no punkta M 0 . Aizvietojiet tās koordinātas abos sistēmas vienādojumos 2 1 + 3 (- 1) + 1 = 0 1 - 2 (- 1) + 0 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

Aizstāšanas rezultātā mēs ieguvām pareizos vienādojumus. Tas nozīmē, ka punkts M 0 pieder abām plaknēm un atrodas uz to krustojuma līnijas.

Aizvietosim punkta N 0 (0, - 1 3, 1) koordinātas abos plaknes vienādojumos. Mēs iegūstam 2 0 + 3 - 1 3 + 1 = 0 0 - 2 - 1 3 + 1 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 - 1 1 3 = 0 .

Kā redzat, sistēmas otrais vienādojums pārvērtās par nepareizu vienādību. Tas nozīmē, ka punkts N 0 nepieder dotajai taisnei.

Atbilde: punkts M 0 pieder taisnei, bet punkts N 0 nepieder.

Tagad piedāvājam jums algoritmu noteikta taisnei piederoša punkta koordinātu atrašanai, ja taisne telpā taisnstūra koordinātu sistēmā O x y z ir noteikta ar krustojošo plakņu vienādojumiem A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Divu lineāru vienādojumu sistēmai ar nezināmajiem A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 atrisinājumu skaits ir bezgalīgs. Jebkurš no šiem risinājumiem var būt problēmas risinājums.

Ņemsim piemēru.

3. piemērs

Trīsdimensiju telpā ir dota taisne ar divu krustojošu plakņu vienādojumiem formā x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 . Atrodiet jebkura punkta koordinātas šajā taisnē.

Risinājums

Pārrakstīsim vienādojumu sistēmu x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 ⇔ x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 .

Par sistēmas 1 0 2 3 = 3 ≠ 0 galvenās matricas bāzes minoru pieņemsim otrās kārtas minoru, kas nav nulle. Tas nozīmē, ka z ir brīvs nezināms mainīgais.

Mēs pārnesam vārdus, kas satur brīvo nezināmo mainīgo z uz vienādojumu labajām pusēm:

x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z

Mēs ievadām patvaļīgu reālo skaitli λ un pieņemam, ka z = λ .

Tad x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 λ 2 x + 3 y = - 2 - 3 λ .

Lai atrisinātu iegūto vienādojumu sistēmu, mēs izmantojam Cramer metodi:

∆ = 1 0 2 3 = 1 3 - 0 1 = 2 ∆ x = - 7 - 3 λ 0 - - 3 λ 3 = - 7 - 3 λ 3 - 0 (- 2 - 3 λ) = 21 - 9 λ ⇒ x = ∆ x ∆ = - 7 - 3 λ ∆ y = 1 - 7 - 3 λ 2 - 2 - 3 λ = 1 - 2 - 3 λ - - 7 - 3 λ = 12 + 3 λ ⇒ y = ∆ y = 4 + λ

Vienādojumu sistēmas x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 vispārējais risinājums būs x = - 7 - 3 λ y = 4 + λ z = λ , kur λ ∈ R .

Lai iegūtu konkrētu vienādojumu sistēmas atrisinājumu, kas dos mums vajadzīgās koordinātas punktam, kas pieder pie dotās taisnes, ir jāņem konkrēta parametra λ vērtība. Ja λ = 0 , tad x = - 7 - 3 0 y = 4 + 0 z = 0 ⇔ x = - 7 y = 4 z = 0 .

Tas ļauj iegūt vēlamā punkta koordinātas - 7 , 4 , 0 .

Pārbaudīsim atrasto punkta koordinātu pareizību, aizvietojot tās divu krustojošu plakņu sākotnējos vienādojumos - 7 + 3 0 + 7 = 0 2 (- 7) + 3 4 + 3 0 + 2 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0.

Atbilde: - 7 , 4 , 0

Taisnes virziena vektors, pa kuru krustojas divas plaknes

Apskatīsim, kā noteikt taisnes virziena vektora koordinātas, kuras dotas ar divu krustojošo plakņu vienādojumiem A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 un A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Taisnstūra koordinātu sistēmā 0xz taisnes virzošais vektors nav atdalāms no taisnes.

Kā zināms, taisne ir perpendikulāra plaknei, ja tā ir perpendikulāra jebkurai taisnei, kas atrodas dotajā plaknē. Pamatojoties uz iepriekš minēto, plaknes normālais vektors ir perpendikulārs jebkuram vektoram, kas nav nulle, kas atrodas dotajā plaknē. Šie divi fakti mums palīdzēs atrast taisnes virziena vektoru.

Plaknes α un β krustojas pa līniju a . Virziena vektors a → taisne a ir perpendikulāra plaknes A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 normālvektoram n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) un normālvektoram n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) plaknes A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Virziena vektors taisns a ir vektoru n → 1 = (A 1 , B 1 , C 1 ) un n 2 → = A 2 , B 2 , C 2 vektoru reizinājums.

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2

Mēs definējam visu līnijas virzošo vektoru kopu kā λ · a → = λ · n 1 → × n 2 → , kur λ ir parametrs, kas var iegūt jebkuru reālo vērtību, kas nav nulle.

4. piemērs

Pieņemsim, ka taisnstūra koordinātu sistēmā O x y z ir taisnstūra līnija telpā ar divu krustojošu plakņu vienādojumiem x + 2 y - 3 z - 2 = 0 x - z + 4 = 0 . Atrodiet jebkura šīs līnijas virziena vektora koordinātas.

Risinājums

Plaknēm x + 2 y - 3 z - 2 = 0 un x - z + 4 = 0 ir normāli vektori n 1 → = 1 , 2 , - 3 un n 2 → = 1 , 0 , - 1 . Par taisnes virziena vektoru, kas ir divu doto plakņu krustpunkts, pieņemsim normālu vektoru vektoru reizinājumu:

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → 1 2 - 3 1 0 - 1 = i → 2 (- 1) + j → (- 3) 1 + k → 1 0 - - k → 2 1 - j → 1 (- 1) - i → (- 3) 0 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →

Atbildi rakstīsim koordinātu formā a → = - 2 , - 2 , - 2 . Tiem, kas neatceras, kā tas tiek darīts, iesakām apskatīt tēmu “Vektoru koordinātes taisnstūra koordinātu sistēmā”.

Atbilde: a → = - 2 , - 2 , - 2

Pāreja uz parametriskiem un kanoniskiem taisnes vienādojumiem telpā

Vairāku problēmu risināšanai vienkāršāk ir izmantot parametriskos taisnes vienādojumus telpā x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ vai taisnes kanoniskos vienādojumus. līnijas telpā formā x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ . Šajos vienādojumos a x , a y , a z ir taisnes virziena vektora koordinātas, x 1 , y 1 , z 1 ir kāda taisnes punkta koordinātas, un λ ir parametrs, kas ņem patvaļīgas reālās vērtības.

No taisnās līnijas vienādojuma formā A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, varat pāriet uz kanoniskajiem un parametriskajiem vienādojumiem. no taisnas līnijas telpā. Lai uzrakstītu taisnes kanoniskos un parametriskos vienādojumus, mums ir nepieciešamas prasmes atrast noteikta taisnes punkta koordinātas, kā arī kāda taisnes virzošā vektora koordinātas, kas noteiktas ar divu krustošanās vienādojumu. lidmašīnas.

Apskatīsim iepriekš minēto piemēru.

5. piemērs

Nostādīsim taisni trīsdimensiju koordinātu sistēmā ar divu krustojošu plakņu vienādojumiem 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 . Uzrakstīsim šīs līnijas kanoniskos un parametriskos vienādojumus.

Risinājums

Atrodiet taisnes virzošā vektora koordinātas, kas ir plaknes 2 x + y - z - 1 = 0 un n 2 → = (1) normālvektoru n 1 → = 2 , 1 , - 1 vektorreizinājums. , 3 , - 2) plaknē x + 3 y-2z=0:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 2 1 - 1 1 3 - 2 = i → 1 (- 2) + j → (- 1) 1 + k → 2 3 - - k → 1 1 - j → 2 (- 2) - i → (- 1) 3 = i → + 3 j → + 5 k →

Taisnes virziena vektora koordinātas a → = (1 , 2 , 5) .

Nākamais solis ir noteikt koordinātes kādam dotās taisnes punktam, kas ir viens no vienādojumu sistēmas atrisinājumiem: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2z = 0 .

Ņemsim determinantu 2 1 1 3 = 2 · 3 - 1 · 1 = 5 par sistēmas mazo matricu, kas nav nulle. Šajā gadījumā mainīgais z par brīvu. Ar to mēs pārnesam terminus uz katra vienādojuma labajām pusēm un piešķiram mainīgajam patvaļīgu vērtību λ:

2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y = 1 + z x + 3 y = 2 z ⇔ 2 x + y = 1 + λ x + 3 y = 2 λ , λ ∈ R

Mēs izmantojam Cramer metodi, lai atrisinātu iegūto vienādojumu sistēmu:

∆ = 2 1 1 3 = 2 3 - 1 1 = 5 ∆ x = 1 + λ 1 2 λ 3 = (1 + λ) 3 - 1 2 λ = 3 + λ ⇒ x = ∆ x ∆ = 3 + λ 5 = 3 5 + 1 5 λ ∆ y = 2 1 + λ 1 2 λ = 2 2 λ - (1 + λ) 1 = - 1 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = - 1 + 3 λ 5 = - 1 5 + 3 5 λ

Mēs iegūstam: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 y = - 1 5 + 3 5 z = λ

Pieņemsim λ = 2, lai iegūtu taisnes punkta koordinātas: x 1 = 3 5 + 1 5 2 y 1 = - 1 5 + 3 5 2 z 1 = 2 ⇔ x 1 = 1 y 1 = 1 z 1 = 2 . Tagad mums ir pietiekami daudz datu, lai pierakstītu šīs līnijas kanoniskos un parametriskos vienādojumus telpā: x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ ⇔ x = 1 + 1 λ y = 1 + 3 λ z = 2 + 5 λ ⇔ x = 1 + λ y = 1 + 3 λ z = 2 + 5 λ

Atbilde: x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 un x = 1 + λ y = 1 + 3 λ z = 2 + 5 λ

Šai problēmai ir cits veids, kā to atrisināt.

Noteikta punkta koordinātas uz taisnes tiek atrastas, atrisinot vienādojumu sistēmu A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Vispārīgā gadījumā tā atrisinājumus var ierakstīt vēlamo parametru vienādojumu formā taisnei telpā x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ .

Kanonisko vienādojumu iegūšana notiek šādi: katru no iegūtajiem vienādojumiem atrisinām attiecībā pret parametru λ, vienādojumu labās daļas pielīdzinām.

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y λ = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

Izmantosim šo metodi problēmas risināšanai.

6. piemērs

Noteiksim taisnes pozīciju ar divu krustojošu plakņu vienādojumiem 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 . Uzrakstīsim parametriskos un kanoniskos vienādojumus šai taisnei.

Risinājums

Divu vienādojumu sistēmas ar trīs nezināmajiem risinājums tiek veikts tāpat kā iepriekšējā piemērā. Iegūstam: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 λ y = - 1 5 + 3 5 λ z = λ .

Tie ir taisnas līnijas parametriskie vienādojumi telpā.

Kanoniskos vienādojumus iegūst šādi: x = 3 5 + 1 5 λ y = - 1 5 + 3 5 λ z = λ ⇔ λ = x - 3 5 1 5 λ = y + 1 5 3 5 λ = z 1 ⇔ x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1

Abos piemēros iegūtie vienādojumi ārēji atšķiras, taču tie ir līdzvērtīgi, jo tie nosaka vienu un to pašu punktu kopu trīsdimensiju telpā un līdz ar to to pašu taisni.

Atbilde: x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1 un x = 3 5 + 1 5 λ y = - 1 5 + 3 5 λ z = λ

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter