Nenegatīva skaitļa kvadrātsaknes jēdziens. N-tās pakāpes sakne: definīcijas, apzīmējumi, piemēri Nenegatīva skaitļa kvadrātsaknes definīcija

Kvadrātveida zemes gabala platība ir 81 dm². Atrodi viņa pusi. Pieņemsim, ka kvadrāta malas garums ir X decimetri. Tad zemes gabala platība ir X² kvadrātdecimetri. Tā kā saskaņā ar nosacījumu šī platība ir vienāda ar 81 dm², tad X² = 81. Kvadrāta malas garums ir pozitīvs skaitlis. Pozitīvs skaitlis, kura kvadrāts ir 81, ir skaitlis 9. Atrisinot uzdevumu, bija jāatrod skaitlis x, kura kvadrāts ir 81, t.i., jāatrisina vienādojums X² = 81. Šim vienādojumam ir divas saknes: x 1 = 9 un x 2 = - 9, jo 9² = 81 un (- 9)² = 81. Gan skaitļus 9, gan -9 sauc par 81 kvadrātsaknēm.

Ņemiet vērā, ka viena no kvadrātsaknēm X= 9 ir pozitīvs skaitlis. To sauc par 81 aritmētisko kvadrātsakni un apzīmē ar √81, tātad √81 = 9.

Skaitļa aritmētiskā kvadrātsakne A ir nenegatīvs skaitlis, kura kvadrāts ir vienāds ar A.

Piemēram, skaitļi 6 un - 6 ir skaitļa 36 kvadrātsaknes. Tomēr skaitlis 6 ir aritmētiskā kvadrātsakne no 36, jo 6 ir nenegatīvs skaitlis un 6² = 36. Skaitlis - 6 nav aritmētiskā sakne.

Skaitļa aritmētiskā kvadrātsakne A apzīmē šādi: √ A.

Zīmi sauc par aritmētisko kvadrātsaknes zīmi; A- sauc par radikālu izteiksmi. Izteiksme √ A lasīt piemēram: skaitļa aritmētiskā kvadrātsakne A. Piemēram, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Gadījumos, kad ir skaidrs, ka mēs runājam par aritmētisko sakni, viņi īsi saka: “kvadrātsakne no A«.

Skaitļa kvadrātsaknes atrašanu sauc par kvadrātsakņu veidošanu. Šī darbība ir apgriezta kvadrātā.

Jūs varat kvadrātā jebkuru skaitli, bet jūs nevarat iegūt kvadrātsaknes no jebkura skaitļa. Piemēram, nav iespējams izvilkt kvadrātsakni no skaitļa - 4. Ja šāda sakne pastāvēja, tad, apzīmējot to ar burtu X, mēs iegūtu nepareizu vienādību x² = - 4, jo kreisajā pusē ir nenegatīvs skaitlis un labajā pusē ir negatīvs skaitlis.

Izteiksme √ A jēga ir tikai tad, kad a ≥ 0. Kvadrātsaknes definīciju var īsi uzrakstīt šādi: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Vienlīdzība (√ A)² = A derīgs a ≥ 0. Tādējādi, lai nodrošinātu, ka kvadrātsakne no nenegatīva skaitļa A vienāds b, t.i., tajā, ka √ A =b, jums ir jāpārbauda, vai ir izpildīti šādi divi nosacījumi: b ≥ 0, b² = A.

Daļas kvadrātsakne

Aprēķināsim. Ņemiet vērā, ka √25 = 5, √36 = 6, un pārbaudīsim, vai vienādība ir spēkā.

Jo un , tad vienlīdzība ir patiesa. Tātad, .

Teorēma: Ja A≥ 0 un b> 0, tas ir, daļskaitļa sakne ir vienāda ar skaitītāja sakni, kas dalīta ar saucēja sakni. Ir jāpierāda, ka: un .

Kopš √ A≥0 un √ b> 0, tad .

Par īpašību palielināt daļu līdz pakāpei un kvadrātsaknes definīciju teorēma ir pierādīta. Apskatīsim dažus piemērus.

Aprēķiniet, izmantojot pārbaudīto teorēmu .

Otrais piemērs: pierādiet to , Ja A ≤ 0, b < 0. .

Vēl viens piemērs: Aprēķināt .

Kvadrātsaknes konversija

Reizinātāja noņemšana zem saknes zīmes. Lai izteiksme ir dota. Ja A≥ 0 un b≥ 0, tad, izmantojot reizinājuma saknes teorēmu, varam ierakstīt:

Šo transformāciju sauc par faktora noņemšanu no saknes zīmes. Apskatīsim piemēru;

Aprēķināt plkst X= 2. Tiešā aizstāšana X= 2 radikālajā izteiksmē noved pie sarežģītiem aprēķiniem. Šos aprēķinus var vienkāršot, ja vispirms noņemat faktorus zem saknes zīmes: . Aizstājot tagad x = 2, mēs iegūstam:.

Tātad, noņemot faktoru zem saknes zīmes, radikālā izteiksme tiek attēlota reizinājuma formā, kurā viens vai vairāki faktori ir nenegatīvu skaitļu kvadrāti. Pēc tam pielietojiet produkta saknes teorēmu un iegūstiet katra faktora sakni. Apskatīsim piemēru: Vienkāršojiet izteiksmi A = √8 + √18 - 4√2, no saknes zīmes izņemot faktorus pirmajos divos terminos, mēs iegūstam:. Mēs uzsveram, ka vienlīdzība spēkā tikai tad, kad A≥ 0 un b≥ 0. ja A < 0, то .

Šajā rakstā mēs iepazīstināsim skaitļa saknes jēdziens. Mēs turpināsim secīgi: sāksim ar kvadrātsakni, no turienes pāriesim uz kubiksaknes aprakstu, pēc kura vispārināsim saknes jēdzienu, definējot n-to sakni. Tajā pašā laikā mēs iepazīstināsim ar definīcijām, apzīmējumiem, sniegsim sakņu piemērus un sniegsim nepieciešamos paskaidrojumus un komentārus.

Kvadrātsakne, aritmētiskā kvadrātsakne

Lai saprastu skaitļa saknes definīciju un jo īpaši kvadrātsakni, jums ir jābūt . Šajā brīdī mēs bieži sastopamies ar skaitļa otro pakāpju - skaitļa kvadrātu.

Sāksim ar kvadrātsaknes definīcijas.

Definīcija

Kvadrātsakne no a ir skaitlis, kura kvadrāts ir vienāds ar a.

Lai atvestu kvadrātsakņu piemēri, ņemam vairākus skaitļus, piemēram, 5, −0.3, 0.3, 0, un salieciet tos kvadrātā, iegūstam attiecīgi skaitļus 25, 0,09, 0,09 un 0 (5 2 =5·5=25, (-0,3) 2 = (-0,3)·(-0,3) = 0,09, (0,3) 2 =0,3 · 0,3 = 0,09 un 0 2 =0,0 = 0). Tad saskaņā ar iepriekš sniegto definīciju skaitlis 5 ir kvadrātsakne no skaitļa 25, skaitļi –0,3 un 0,3 ir kvadrātsaknes no 0,09, un 0 ir kvadrātsakne no nulles.

Jāņem vērā, ka nevienam skaitlim a nepastāv a, kura kvadrāts ir vienāds ar a. Proti, jebkuram negatīvam skaitlim a nav reāla skaitļa b, kura kvadrāts būtu vienāds ar a. Faktiski vienādība a=b 2 nav iespējama nevienam negatīvam a, jo b 2 ir nenegatīvs skaitlis jebkuram b. Tādējādi reālo skaitļu kopā nav negatīva skaitļa kvadrātsaknes. Citiem vārdiem sakot, reālo skaitļu kopā negatīva skaitļa kvadrātsakne nav definēta un tai nav nozīmes.

Tas noved pie loģiska jautājuma: “Vai jebkuram nenegatīvam a ir kvadrātsakne no a”? Atbilde ir jā. Šo faktu var attaisnot ar kvadrātsaknes vērtības noteikšanai izmantoto konstruktīvo metodi.

Tad rodas nākamais loģiskais jautājums: “Kāds ir dotā nenegatīvā skaitļa a visu kvadrātsakņu skaits - viens, divi, trīs vai pat vairāk”? Lūk, atbilde: ja a ir nulle, tad vienīgā kvadrātsakne no nulles ir nulle; ja a ir kāds pozitīvs skaitlis, tad skaitļa a kvadrātsakņu skaits ir divi, un saknes ir . Pamatosim to.

Sāksim ar gadījumu a=0 . Pirmkārt, parādīsim, ka nulle patiešām ir nulles kvadrātsakne. Tas izriet no acīmredzamās vienādības 0 2 =0·0=0 un kvadrātsaknes definīcijas.

Tagad pierādīsim, ka 0 ir vienīgā kvadrātsakne no nulles. Izmantosim pretējo metodi. Pieņemsim, ka ir kāds skaitlis b, kas nav nulles un kas ir nulles kvadrātsakne. Tad ir jāizpilda nosacījums b 2 =0, kas nav iespējams, jo jebkurai b 2 izteiksmei b 2 vērtība ir pozitīva. Mēs esam nonākuši pie pretrunas. Tas pierāda, ka 0 ir vienīgā kvadrātsakne no nulles.

Pāriesim pie gadījumiem, kad a ir pozitīvs skaitlis. Iepriekš teicām, ka jebkuram nenegatīvam skaitļam vienmēr ir kvadrātsakne, lai kvadrātsakne no a ir skaitlis b. Pieņemsim, ka ir skaitlis c, kas ir arī a kvadrātsakne. Tad pēc kvadrātsaknes definīcijas vienādības b 2 =a un c 2 =a ir patiesas, no kā izriet, ka b 2 −c 2 =a−a=0, bet tā kā b 2 −c 2 =( b–c)·( b+c) , tad (b–c)·(b+c)=0 . Rezultātā iegūtā vienlīdzība ir spēkā darbības ar reāliem skaitļiem īpašības iespējams tikai tad, ja b–c=0 vai b+c=0 . Tādējādi skaitļi b un c ir vienādi vai pretēji.

Ja pieņemam, ka ir skaitlis d, kas ir vēl viena kvadrātsakne no skaitļa a, tad, spriežot līdzīgi kā jau dotajiem, tiek pierādīts, ka d ir vienāds ar skaitli b vai skaitli c. Tātad pozitīva skaitļa kvadrātsakņu skaits ir divi, un kvadrātsaknes ir pretēji skaitļi.

Lai ērtāk strādātu ar kvadrātsaknēm, negatīvā sakne tiek “atdalīta” no pozitīvās. Šim nolūkam tas tiek ieviests aritmētiskās kvadrātsaknes definīcija.

Definīcija

Nenegatīva skaitļa aritmētiskā kvadrātsakne a ir nenegatīvs skaitlis, kura kvadrāts ir vienāds ar a.

A aritmētiskās kvadrātsaknes apzīmējums ir . Zīmi sauc par aritmētisko kvadrātsaknes zīmi. To sauc arī par radikālo zīmi. Tāpēc dažreiz var dzirdēt gan “sakne”, gan “radikāls”, kas nozīmē vienu un to pašu objektu.

Tiek izsaukts skaitlis zem aritmētiskās kvadrātsaknes zīmes radikāls skaitlis, un izteiksme zem saknes zīmes ir radikāla izpausme, savukārt termins “radikālais skaitlis” bieži tiek aizstāts ar “radikāla izteiksme”. Piemēram, apzīmējumā skaitlis 151 ir radikāls skaitlis, un apzīmējumā izteiksme a ir radikāla izteiksme.

Lasot, vārds "aritmētika" bieži tiek izlaists, piemēram, ieraksts tiek lasīts kā "kvadrātsakne no septiņiem komatiem divdesmit deviņiem". Vārds "aritmētika" tiek lietots tikai tad, ja viņi vēlas uzsvērt, ka mēs runājam tieši par skaitļa pozitīvo kvadrātsakni.

Ņemot vērā ieviesto apzīmējumu, no aritmētiskās kvadrātsaknes definīcijas izriet, ka jebkuram nenegatīvam skaitlim a .

Pozitīva skaitļa kvadrātsaknes raksta, izmantojot aritmētisko kvadrātsaknes zīmi kā un . Piemēram, 13 kvadrātsaknes ir un . Nulles aritmētiskā kvadrātsakne ir nulle, tas ir, . Negatīviem skaitļiem a mēs nepiešķirsim apzīmējumam nozīmi, kamēr neesam pētījuši kompleksie skaitļi. Piemēram, izteicieni un ir bezjēdzīgi.

Pamatojoties uz kvadrātsaknes definīciju, tiek pierādītas kvadrātsakņu īpašības, kuras bieži izmanto praksē.

Šī punkta noslēgumā atzīmējam, ka skaitļa a kvadrātsaknes ir formas x 2 =a atrisinājumi attiecībā pret mainīgo x.

Skaitļa kubsakne

Kuba saknes definīcija skaitļa a ir dota līdzīgi kvadrātsaknes definīcijai. Tikai tā pamatā ir skaitļa, nevis kvadrāta kuba jēdziens.

Definīcija

Kuba sakne no a ir skaitlis, kura kubs ir vienāds ar a.

Dosim kubu sakņu piemēri. Lai to izdarītu, ņemiet vairākus skaitļus, piemēram, 7, 0, −2/3, un sagrieziet tos kubā: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Pēc tam, pamatojoties uz kuba saknes definīciju, mēs varam teikt, ka skaitlis 7 ir 343 kuba sakne, 0 ir nulles kuba sakne un −2/3 ir −8/27 kuba sakne.

Var parādīt, ka skaitļa kubsakne atšķirībā no kvadrātsaknes vienmēr pastāv ne tikai nenegatīvam a, bet arī jebkuram reālam skaitlim a. Lai to izdarītu, varat izmantot to pašu metodi, ko mēs minējām, pētot kvadrātsaknes.

Turklāt no dotā skaitļa a ir tikai viena kuba sakne. Pierādīsim pēdējo apgalvojumu. Lai to izdarītu, aplūkojiet trīs gadījumus atsevišķi: a ir pozitīvs skaitlis, a=0 un a ir negatīvs skaitlis.

Ir viegli parādīt, ka, ja a ir pozitīvs, a kuba sakne nevar būt ne negatīvs skaitlis, ne nulle. Patiešām, pieņemsim, ka b ir a kuba sakne, tad pēc definīcijas mēs varam uzrakstīt vienādību b 3 =a. Ir skaidrs, ka šī vienādība nevar būt patiesa negatīvam b un b=0, jo šajos gadījumos b 3 =b·b·b būs attiecīgi negatīvs skaitlis vai nulle. Tātad pozitīva skaitļa a kuba sakne ir pozitīvs skaitlis.

Tagad pieņemsim, ka bez skaitļa b ir vēl viena skaitļa a kubsakne, apzīmēsim to ar c. Tad c 3 =a. Tāpēc b 3 −c 3 =a−a=0, bet b 3 - c 3 = (b - c) · (b 2 + b · c + c 2)(šī ir saīsinātā reizināšanas formula kubu atšķirība), no kurienes (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Iegūtā vienādība ir iespējama tikai tad, ja b−c=0 vai b 2 +b·c+c 2 =0. No pirmās vienādības mums ir b=c, bet otrajai vienādībai nav atrisinājumu, jo tās kreisā puse ir pozitīvs skaitlis jebkuriem pozitīviem skaitļiem b un c kā trīs pozitīvo vārdu b 2, b·c un c 2 summa. Tas pierāda pozitīva skaitļa a kuba saknes unikalitāti.

Ja a=0, skaitļa a kuba sakne ir tikai skaitlis nulle. Patiešām, ja mēs pieņemam, ka ir skaitlis b, kas ir nulles kuba sakne no nulles, tad ir jāpastāv vienādībai b 3 =0, kas ir iespējama tikai tad, ja b=0.

Negatīvā a gadījumā var sniegt argumentus, kas ir līdzīgi pozitīvā a gadījumam. Pirmkārt, mēs parādām, ka negatīva skaitļa kuba sakne nevar būt vienāda ar pozitīvu skaitli vai nulli. Otrkārt, mēs pieņemam, ka ir otra negatīva skaitļa kuba sakne, un parādām, ka tā noteikti sakritīs ar pirmo.

Tātad jebkuram reālajam skaitļam a vienmēr ir kuba sakne un unikāls.

Dosim aritmētiskā kuba saknes definīcija.

Definīcija

Nenegatīva skaitļa aritmētiskā kuba sakne a ir nenegatīvs skaitlis, kura kubs ir vienāds ar a.

Nenegatīva skaitļa a aritmētiskā kuba sakne tiek apzīmēta kā , zīmi sauc par aritmētiskā kuba saknes zīmi, skaitli 3 šajā apzīmējumā sauc saknes indekss. Numurs zem saknes zīmes ir radikāls skaitlis, izteiksme zem saknes zīmes ir radikāla izpausme.

Lai gan aritmētiskā kuba sakne ir definēta tikai nenegatīviem skaitļiem a, ir ērti izmantot arī apzīmējumus, kuros zem aritmētiskā kuba saknes zīmes atrodami negatīvi skaitļi. Mēs tos sapratīsim šādi: , kur a ir pozitīvs skaitlis. Piemēram, .

Par kubu sakņu īpašībām mēs runāsim vispārīgajos sakņu rakstu īpašībās.

Kuba saknes vērtības aprēķināšanu sauc par kuba saknes izvilkšanu; šī darbība ir apskatīta rakstā sakņu iegūšana: metodes, piemēri, risinājumi.

Noslēdzot šo punktu, pieņemsim, ka skaitļa a kubsakne ir formas x 3 =a risinājums.

n-tā sakne, n pakāpes aritmētiskā sakne

Vispārināsim skaitļa saknes jēdzienu – ieviešam n-tās saknes definīcija par n.

Definīcija

n-tā sakne no a ir skaitlis, kura n-tā pakāpe ir vienāda ar a.

No šīs definīcijas ir skaidrs, ka skaitļa a pirmās pakāpes sakne ir pats skaitlis a, jo, pētot pakāpi ar naturālo eksponentu, mēs ņēmām 1 =a.

Iepriekš mēs aplūkojām īpašos n-tās saknes gadījumus n=2 un n=3 - kvadrātsakne un kubsakne. Tas ir, kvadrātsakne ir otrās pakāpes sakne, bet kubsakne ir trešās pakāpes sakne. Lai pētītu n-tās pakāpes saknes n=4, 5, 6, ..., ir ērti tās iedalīt divās grupās: pirmā grupa - pāra pakāpju saknes (tas ir, n = 4, 6, 8). , ...), otrā grupa - saknes nepāra pakāpes (tas ir, ar n=5, 7, 9, ...). Tas ir saistīts ar faktu, ka pāra pakāpju saknes ir līdzīgas kvadrātsaknēm, bet nepāra pakāpju saknes ir līdzīgas kubiskajām saknēm. Tiksim ar tiem galā pa vienam.

Sāksim ar saknēm, kuru pakāpes ir pāra skaitļi 4, 6, 8, ... Kā jau teicām, tās ir līdzīgas skaitļa a kvadrātsaknei. Tas nozīmē, ka jebkura skaitļa a pāra pakāpes sakne pastāv tikai nenegatīvam a. Turklāt, ja a=0, tad a sakne ir unikāla un vienāda ar nulli, un ja a>0, tad ir divas skaitļa a pāra pakāpes saknes, un tās ir pretēji skaitļi.

Pamatosim pēdējo apgalvojumu. Lai b ir skaitļa a pāra sakne (to apzīmējam kā 2·m, kur m ir kāds naturāls skaitlis). Pieņemsim, ka ir skaitlis c — vēl viena pakāpes sakne 2·m attālumā no skaitļa a. Tad b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Bet mēs zinām formu b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2), tad (b–c)·(b+c)· (b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2)=0. No šīs vienādības izriet, ka b−c=0, vai b+c=0, vai b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2 =0. Pirmās divas vienādības nozīmē, ka skaitļi b un c ir vienādi vai b un c ir pretēji. Un pēdējā vienādība ir spēkā tikai b=c=0, jo tās kreisajā pusē ir izteiksme, kas ir nenegatīva jebkuram b un c kā nenegatīvu skaitļu summa.

Kas attiecas uz n-tās pakāpes saknēm nepāra n, tās ir līdzīgas kuba saknei. Tas nozīmē, ka jebkura skaitļa a nepāra pakāpes sakne pastāv jebkuram reālam skaitlim a, un noteiktam skaitlim a tā ir unikāla.

Skaitļa a nepāra pakāpes 2·m+1 saknes unikalitāte tiek pierādīta pēc analoģijas ar a kubsaknes unikalitātes pierādījumu. Tikai šeit vienlīdzības vietā a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) tiek izmantots formas b 2 m+1 −c 2 m+1 = vienādojums (b–c)·(b 2·m +b 2·m–1 ·c+b 2·m–2 ·c 2 +… +c 2·m). Izteicienu pēdējā iekavā var pārrakstīt kā b 2 m + c 2 m + b c (b 2 m-2 + c 2 m-2 + b c (b 2 m–4 + c 2 m–4 + b c (…+ (b 2 + c 2 + b c)))). Piemēram, ar m=2 mums ir b 5 -c 5 =(b-c) · (b 4 +b 3 · c + b 2 · c 2 + b · c 3 + c 4)= (b–c)·(b 4 +c 4 +b · c · (b 2 +c 2 +b · c)). Ja a un b abi ir pozitīvi vai abi ir negatīvi, to reizinājums ir pozitīvs skaitlis, tad izteiksme b 2 +c 2 +b·c augstākajās ligzdotajās iekavās ir pozitīva kā pozitīvo skaitļu summa. Tagad, secīgi pārejot uz iepriekšējo ligzdošanas pakāpju izteiksmēm iekavās, mēs esam pārliecināti, ka tie ir pozitīvi arī kā pozitīvo skaitļu summa. Rezultātā iegūstam, ka vienādība b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b–c)·(b 2·m +b 2·m–1 ·c+b 2·m–2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 iespējams tikai tad, ja b–c=0, tas ir, ja skaitlis b ir vienāds ar skaitli c.

Ir pienācis laiks saprast n-tās saknes apzīmējumu. Šim nolūkam tas tiek dots n-tās pakāpes aritmētiskās saknes definīcija.

Definīcija

Nenegatīva skaitļa n-tās pakāpes aritmētiskā sakne a ir nenegatīvs skaitlis, kura n-tā pakāpe ir vienāda ar a.

Nenegatīva skaitļa kvadrātsaknes jēdziens

Aplūkosim vienādojumu x2 = 4. Atrisiniet to grafiski. Lai to izdarītu vienā sistēmā koordinātas Konstruēsim parabolu y = x2 un taisni y = 4 (74. att.). Tie krustojas divos punktos A (- 2; 4) un B (2; 4). Punktu A un B abscises ir vienādojuma saknes x2 = 4. Tātad, x1 = - 2, x2 = 2.

Spriežot tieši tādā pašā veidā, atrodam vienādojuma saknes x2 = 9 (skat. 74. att.): x1 = - 3, x2 = 3.

Tagad mēģināsim atrisināt vienādojumu x2 = 5; ģeometriskā ilustrācija ir parādīta attēlā. 75. Ir skaidrs, ka šim vienādojumam ir divas saknes x1 un x2, un šie skaitļi, tāpat kā divos iepriekšējos gadījumos, ir vienādi pēc absolūtās vērtības un pretēji zīmē (x1 - - x2) - Bet atšķirībā no iepriekšējiem gadījumiem, kur vienādojuma saknes tika atrastas bez grūtībām (un tās varēja atrast, neizmantojot grafikus), tas tā nav ar vienādojumu x2 = 5: no zīmējuma mēs nevaram norādīt sakņu vērtības, mēs varam tikai noteikt, ka viens sakne atrodas nedaudz pa kreisi no punkta - 2, bet otrais atrodas nedaudz pa labi no 2. punkta.

Bet šeit mūs sagaida nepatīkams pārsteigums. Izrādās, ka tāda nav frakcijas DIV_ADBLOCK32">

Pieņemsim, ka pastāv nereducējama daļa, uz kuru attiecas vienādība https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}, t.i., m2 = 5n2. Pēdējā vienlīdzība to nozīmē dabiskais skaitlis m2 dalās ar 5 bez atlikuma (dalījumā tas kļūst par n2).

Līdz ar to skaitlis m2 beidzas vai nu ar skaitli 5, vai ar skaitli 0. Bet tad arī naturālais skaitlis m beidzas vai nu ar skaitli 5, vai ar skaitli 0, t.i., skaitlis m dalās ar 5 bez atlikuma. Citiem vārdiem sakot, ja skaitli m dala ar 5, tad koeficients iegūs kādu naturālu skaitli k. Tas nozīmē, ka m = 5k.

Tagad paskaties:

Pirmajā vienādībā aizstāsim m vietā 5k:

(5k)2 = 5n2, t.i., 25k2 = 5n2 vai n2 = 5k2.

Pēdējā vienādība nozīmē, ka skaitlis. 5n2 dalās ar 5 bez atlikuma. Spriežot kā iepriekš, mēs nonākam pie secinājuma, ka arī skaitlis n dalās ar 5 bez atlikumu.

Tātad m dalās ar 5, n dalās ar 5, kas nozīmē, ka daļu var samazināt (ar 5). Bet mēs pieņēmām, ka daļa bija nesamazināma. Kas noticis? Kāpēc, pareizi argumentējot, nonācām pie absurda jeb, kā matemātiķi mēdz teikt, radās pretruna!Jā, jo sākotnējā premisa bija nepareiza, it kā eksistē nereducējama daļdaļa, kurai spēkā ir vienādība ).

Ja pareizas spriešanas rezultātā mēs nonākam pretrunā ar nosacījumu, tad secinām: mūsu pieņēmums ir nepatiess, kas nozīmē, ka tas, kas mums bija jāpierāda, ir patiess.

Tātad, kam ir tikai racionālie skaitļi(un mēs vēl nezinām citus skaitļus), mēs nevarēsim atrisināt vienādojumu x2 = 5.

Pirmo reizi saskārušies ar šādu situāciju, matemātiķi saprata, ka jāizdomā veids, kā to aprakstīt matemātiskā valodā. Viņi ieviesa jaunu simbolu, ko viņi sauca par kvadrātsakni, un, izmantojot šo simbolu, vienādojuma x2 = 5 saknes tika uzrakstītas šādi: ). Tagad jebkuram vienādojumam formā x2 = a, kur a > O, jūs varat atrast saknes - tie ir skaitļi https://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!} ne veselu, ne daļu.
Tas nozīmē, ka tas nav racionāls skaitlis, tas ir jauna rakstura skaitlis, par šādiem skaitļiem mēs īpaši runāsim vēlāk, 5. nodaļā.
Pagaidām ņemsim vērā, ka jaunais skaitlis ir starp skaitļiem 2 un 3, jo 22 = 4, kas ir mazāks par 5; Z2 = 9, un tas ir vairāk nekā 5. Varat precizēt:

Vēlreiz ņemiet vērā, ka tabulā parādās tikai pozitīvi skaitļi, kā norādīts kvadrātsaknes definīcijā. Un, lai gan, piemēram, = 25 ir patiesa vienādība, pārejiet no tā uz apzīmējumu, izmantojot kvadrātsakni (t.i., ierakstiet to. .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!} ir pozitīvs skaitlis, kas nozīmē https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}. Ir tikai skaidrs, ka tas ir lielāks par 4, bet mazāks par 5, jo 42 = 16 (tas ir mazāks par 17) un 52 = 25 (tas ir vairāk nekā 17).
Tomēr aptuveno skaitļa vērtību var atrast, izmantojot mikro kalkulators, kurā ir kvadrātsaknes operācija; šī vērtība ir 4,123.

Skaitlis, tāpat kā iepriekš apspriestais, nav racionāls.
e) To nevar aprēķināt, jo negatīva skaitļa kvadrātsakne neeksistē; ierakstam nav jēgas. Piedāvātais uzdevums ir nepareizs.
e) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Uzdevums" width="80" height="33 id=">!}, jo 75 > 0 un 752 = 5625.

Vienkāršākajos gadījumos kvadrātsaknes vērtību aprēķina uzreiz:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Uzdevums" width="65" height="42 id=">!}
Risinājums.
Pirmais posms. Nav grūti uzminēt, ka atbilde būs 50 ar asti. Faktiski 502 = 2500 un 602 = 3600, savukārt skaitlis 2809 atrodas starp skaitļiem 2500 un 3600.

Es vēlreiz paskatījos uz zīmi... Un, ejam!

Sāksim ar kaut ko vienkāršu:

Tikai minūti. tas nozīmē, ka mēs to varam rakstīt šādi:

Sapratu? Lūk, nākamais jums:

Vai iegūto skaitļu saknes nav precīzi iegūtas? Nav problēmu — šeit ir daži piemēri:

Ko darīt, ja ir nevis divi, bet vairāk reizinātāju? Tas pats! Sakņu pavairošanas formula darbojas ar vairākiem faktoriem:

Tagad pilnīgi patstāvīgi:

Atbildes: Labi padarīts! Piekrītu, viss ir ļoti vienkārši, galvenais ir zināt reizināšanas tabulu!

Sakņu dalījums

Mēs esam sakārtojuši sakņu reizināšanu, tagad pāriesim pie dalīšanas īpašuma.

Atgādināšu, ka vispārējā formula izskatās šādi:

Kas nozīmē, ka koeficienta sakne ir vienāda ar sakņu koeficientu.

Nu, apskatīsim dažus piemērus:

Tāda ir visa zinātne. Šeit ir piemērs:

Viss nav tik gludi kā pirmajā piemērā, bet, kā redzat, nav nekā sarežģīta.

Ko darīt, ja jūs saskaraties ar šo izteicienu:

Jums vienkārši jāpiemēro formula pretējā virzienā:

Un šeit ir piemērs:

Varat arī saskarties ar šo izteicienu:

Viss ir vienāds, tikai šeit jums jāatceras, kā tulkot daļskaitļus (ja neatceraties, apskatiet tēmu un atgriezieties!). Vai tu atceries? Tagad pieņemsim lēmumu!

Esmu pārliecināts, ka esat ar visu tikuši galā, tagad mēģināsim pacelt saknes līdz grādiem.

Paaugstināšana

Kas notiek, ja kvadrātsakne ir kvadrātā? Tas ir vienkārši, atcerieties skaitļa kvadrātsaknes nozīmi - tas ir skaitlis, kura kvadrātsakne ir vienāda ar.

Tātad, ja mēs kvadrātā ņemam skaitli, kura kvadrātsakne ir vienāda, ko mēs iegūstam?

Nu protams,!

Apskatīsim piemērus:

Tas ir vienkārši, vai ne? Ko darīt, ja sakne ir citā pakāpē? Ir labi!

Ievērojiet to pašu loģiku un atcerieties īpašības un iespējamās darbības ar grādiem.

Izlasiet teoriju par tēmu “”, un viss jums kļūs ārkārtīgi skaidrs.

Piemēram, šeit ir izteiksme:

Šajā piemērā pakāpe ir pāra, bet ja tā ir nepāra? Atkal izmantojiet eksponentu īpašības un faktorējiet visu:

Šķiet, ka ar to viss ir skaidrs, bet kā iegūt skaitļa sakni pakāpē? Šeit, piemēram, ir:

Diezgan vienkārši, vai ne? Ko darīt, ja grāds ir lielāks par diviem? Mēs ievērojam to pašu loģiku, izmantojot grādu īpašības:

Nu vai viss skaidrs? Pēc tam pats atrisiniet piemērus:

Un šeit ir atbildes:

Ieejot zem saknes zīmes

Ko mēs neesam iemācījušies darīt ar saknēm! Atliek vien vingrināties skaitļa ievadīšanā zem saknes zīmes!

Tas ir patiešām viegli!

Pieņemsim, ka mums ir pierakstīts skaitlis

Ko mēs ar to varam darīt? Nu, protams, paslēpiet trīs zem saknes, atceroties, ka trīs ir kvadrātsakne!

Kāpēc mums tas ir vajadzīgs? Jā, lai paplašinātu mūsu iespējas, risinot piemērus:

Kā jums patīk šī sakņu īpašība? Vai tas padara dzīvi daudz vieglāku? Man tas ir tieši pareizi! Tikai Jāatceras, ka zem kvadrātsaknes zīmes varam ievadīt tikai pozitīvus skaitļus.

Atrisiniet šo piemēru pats -
Vai jums izdevās? Apskatīsim, kas jums jāsaņem:

Labi padarīts! Jums izdevās ievadīt numuru zem saknes zīmes! Pāriesim pie kaut kā tikpat svarīga – apskatīsim, kā salīdzināt skaitļus, kuros ir kvadrātsakne!

Sakņu salīdzinājums

Kāpēc mums jāiemācās salīdzināt skaitļus, kuros ir kvadrātsakne?

Ļoti vienkārši. Bieži eksāmenā sastopamajos lielos un garos izteicienos mēs saņemam neracionālu atbildi (atcerieties, kas tas ir? Par to mēs jau šodien runājām!)

Saņemtās atbildes ir jānovieto uz koordinātu līnijas, piemēram, lai noteiktu, kurš intervāls ir piemērots vienādojuma risināšanai. Un šeit rodas problēma: eksāmenā nav kalkulatora, un bez tā, kā jūs varat iedomāties, kurš skaitlis ir lielāks un kurš ir mazāks? Tieši tā!

Piemēram, nosakiet, kurš ir lielāks: vai?

Jūs nevarat pateikt uzreiz. Nu, izmantosim izjaukto īpašību ievadīt skaitli zem saknes zīmes?

Tad uz priekšu:

Nu, acīmredzot, jo lielāks skaitlis zem saknes zīmes, jo lielāka pati sakne!

Tie. ja tad, .

No tā mēs stingri secinām, ka. Un neviens mūs nepārliecinās par pretējo!

Sakņu iegūšana no liela skaita

Pirms tam mēs ievadījām reizinātāju zem saknes zīmes, bet kā to noņemt? Jums tas vienkārši jāiekļauj faktoros un jāizvelk tas, ko iegūstat!

Bija iespējams izvēlēties citu ceļu un paplašināties citos faktoros:

Nav slikti, vai ne? Jebkura no šīm pieejām ir pareiza, izlemiet, kā vēlaties.

Faktorings ir ļoti noderīgs, risinot tādas nestandarta problēmas kā:

Nebaidīsimies, bet rīkosimies! Sadalīsim katru faktoru zem saknes atsevišķos faktoros:

Tagad izmēģiniet to pats (bez kalkulatora! Tas nebūs eksāmenā):

Vai šīs ir beigas? Neapstāsimies pusceļā!

Tas arī viss, nav tik biedējoši, vai ne?

Vai notika? Labi darīts, tieši tā!

Tagad izmēģiniet šo piemēru:

Bet piemērs ir grūts rieksts, tāpēc jūs nevarat uzreiz izdomāt, kā tam pieiet. Bet, protams, mēs ar to varam tikt galā.

Nu, sāksim faktoringu? Tūlīt atzīmēsim, ka skaitli var dalīt ar (atcerieties dalāmības zīmes):

Tagad izmēģiniet to pats (atkal, bez kalkulatora!):

Nu, vai tas izdevās? Labi darīts, tieši tā!

Apkoposim to

Nenegatīva skaitļa kvadrātsakne (aritmētiskā kvadrātsakne) ir nenegatīvs skaitlis, kura kvadrāts ir vienāds ar.
.
Ja no kaut kā vienkārši ņemam kvadrātsakni, mēs vienmēr iegūstam vienu nenegatīvu rezultātu.
Aritmētiskās saknes īpašības:
Salīdzinot kvadrātsaknes, jāatceras, ka jo lielāks skaitlis zem saknes zīmes, jo lielāka ir pati sakne.

Kā ir kvadrātsakne? Viss skaidrs?

Mēs centāmies jums bez kņadas izskaidrot visu, kas jums jāzina eksāmenā par kvadrātsakni.

Tava kārta. Rakstiet mums, vai šī tēma jums ir grūta vai nē.

Vai uzzinājāt ko jaunu vai viss jau bija skaidrs?

Raksti komentāros un veiksmi eksāmenos!

Aplūkosim vienādojumu x 2 = 4. Atrisiniet to grafiski. Lai to izdarītu, vienā koordinātu sistēmā konstruējam parabolu y = x 2 un taisni y = 4 (74. att.). Tie krustojas divos punktos A (- 2; 4) un B (2; 4). Punktu A un B abscises ir vienādojuma saknes x 2 = 4. Tātad, x 1 = - 2, x 2 = 2.

Spriežot tieši tādā pašā veidā, atrodam vienādojuma saknes x 2 = 9 (skat. 74. att.): x 1 = - 3, x 2 = 3.

Tagad mēģināsim atrisināt vienādojumu x 2 = 5; ģeometriskā ilustrācija ir parādīta attēlā. 75. Ir skaidrs, ka šim vienādojumam ir divas saknes x 1 un x 2, un šie skaitļi, tāpat kā divos iepriekšējos gadījumos, ir vienādi pēc absolūtās vērtības un pretēji zīmē (x 1 - - x 2) - Bet atšķirībā no iepriekšējā gadījumos, kad vienādojuma saknes tika atrastas bez grūtībām (un tās varēja atrast, neizmantojot grafikus), ar vienādojumu x 2 = 5 tas tā nav: saskaņā ar zīmējumu mēs nevaram norādīt vērtības saknes, mēs varam tikai konstatēt, ka viena sakne atrodas nedaudz pa kreisi, ir 2 punkti, bet otra ir nedaudz pa labi

2. punkts.

Kas ir šis skaitlis (punkts), kas atrodas tieši pa labi no 2. punkta un kurš kvadrātā dod 5? Skaidrs, ka tas nav 3, jo 3 2 = 9, t.i., izrādās vairāk nekā nepieciešams (9 > 5).

Tas nozīmē, ka mūs interesējošais skaitlis atrodas starp skaitļiem 2 un 3. Bet starp skaitļiem 2 un 3 ir bezgalīgs skaits racionālu skaitļu, piemēram, utt. Varbūt starp tiem būs tāda daļa kā ? Tad mums nebūs problēmu ar vienādojumu x 2 - 5, mēs varam to uzrakstīt

Bet šeit mūs sagaida nepatīkams pārsteigums. Izrādās, ka nav nevienas daļas, uz kuru attiecas vienlīdzība
Norādītā apgalvojuma pierādīšana ir diezgan sarežģīta. Tomēr mēs to piedāvājam, jo tas ir skaists un pamācošs, un ir ļoti noderīgi mēģināt to saprast.

Pieņemsim, ka pastāv nereducējama daļa, uz kuru attiecas vienādība. Tad, t.i., m 2 = 5n 2. Pēdējā vienādība nozīmē, ka naturālais skaitlis m 2 dalās ar 5 bez atlikuma (dalījumā tas būs n2).

Līdz ar to skaitlis m 2 beidzas vai nu ar skaitli 5, vai ar skaitli 0. Bet tad arī naturālais skaitlis m beidzas vai nu ar skaitli 5, vai ar skaitli 0, t.i. skaitlis m dalās ar 5 bez atlikuma. Citiem vārdiem sakot, ja skaitli m dala ar 5, tad koeficients iegūs kādu naturālu skaitli k. Tas nozīmē,
ka m = 5k.
Tagad paskaties:
m2 = 5n2;
Pirmajā vienādībā aizstāsim m vietā 5k:

(5k) 2 = 5n 2, t.i., 25k 2 = 5n 2 vai n 2 = 5k 2.
Pēdējā vienādība nozīmē, ka skaitlis. 5n 2 dalās ar 5 bez atlikuma. Spriežot kā iepriekš, mēs nonākam pie secinājuma, ka arī skaitlis n dalās ar 5 bez atlikuma.
Tātad m dalās ar 5, n dalās ar 5, kas nozīmē, ka daļu var samazināt (ar 5). Bet mēs pieņēmām, ka daļa bija nesamazināma. Kas noticis? Kāpēc, pareizi argumentējot, nonācām pie absurda jeb, kā matemātiķi mēdz teikt, radās pretruna!Jā, jo sākotnējā premisa bija nepareiza, it kā eksistē nereducējama daļdaļa, kurai spēkā ir vienādība
Tādējādi mēs secinām: šādas frakcijas nav.
Pierādīšanas metodi, ko tikko izmantojām, matemātikā sauc par pierādīšanas metodi ar pretrunu. Tās būtība ir šāda. Mums ir jāpierāda noteikts apgalvojums, un mēs pieņemam, ka tas nepastāv (matemātiķi saka: "pieņemt pretējo" - nevis nozīmē "nepatīkami", bet gan nozīmē "pretēji tam, ko prasa").
Ja pareizas spriešanas rezultātā mēs nonākam pretrunā ar nosacījumu, tad secinām: mūsu pieņēmums ir nepatiess, kas nozīmē, ka tas, kas mums bija jāpierāda, ir patiess.

Tātad, ja mums ir tikai racionāli skaitļi (un mēs vēl nezinām citus skaitļus), mēs nevaram atrisināt vienādojumu x 2 = 5.
Pirmo reizi saskārušies ar šādu situāciju, matemātiķi saprata, ka jāizdomā veids, kā to aprakstīt matemātiskā valodā. Viņi ieviesa jaunu simbolu, ko viņi sauca par kvadrātsakni, un, izmantojot šo simbolu, vienādojuma x 2 = 5 saknes tika uzrakstītas šādi:

Tas skan: “kvadrātsakne no 5”). Tagad jebkuram vienādojumam formā x 2 = a, kur a > O, jūs varat atrast saknes - tie ir skaitļi. , (76. att.).

Uzsvērsim arī to, ka skaitlis nav ne vesels skaitlis, ne daļdaļa.
Tas nozīmē, ka tas nav racionāls skaitlis, tas ir jauna rakstura skaitlis, par šādiem skaitļiem mēs īpaši runāsim vēlāk, 5. nodaļā.
Pagaidām ņemsim vērā, ka jaunais skaitlis ir starp skaitļiem 2 un 3, jo 2 2 = 4, kas ir mazāks par 5; 3 2 = 9, un tas ir vairāk nekā 5. Varat precizēt:

Faktiski 2,2 2 = 4,84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Jūs varat arī
norādīt:

patiešām, 2,23 2 = 4,9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
Praksē parasti tiek uzskatīts, ka skaitlis ir vienāds ar 2,23 vai tas ir vienāds ar 2,24, tikai tā nav parasta vienādība, bet gan aptuvenā vienādība, ko apzīmē ar simbolu “”.
Tātad,

Apspriežot vienādojuma x 2 = a risinājumu, mēs saskārāmies ar diezgan tipisku matemātikas situāciju. Atrodoties nestandarta, nenormālā (kā kosmonauti mēdz teikt) situācijā un neatrodot no tās izeju, izmantojot zināmus līdzekļus, matemātiķi nāk klajā ar jaunu terminu un jaunu apzīmējumu (jaunu simbolu) matemātiskajam modelim. pirmo reizi sastapts; citiem vārdiem sakot, viņi ievieš jaunu koncepciju un pēc tam pēta tā īpašības
jēdzieni. Tādējādi jaunais jēdziens un tā apzīmējums kļūst par matemātiskās valodas īpašumu. Mēs rīkojāmies tāpat: ieviesām terminu “skaitļa a kvadrātsakne”, ieviesām simbolu, lai to apzīmētu, un nedaudz vēlāk pētīsim jaunā jēdziena īpašības. Pagaidām mēs zinām tikai vienu: ja a > 0,
tad ir pozitīvs skaitlis, kas apmierina vienādojumu x 2 = a. Citiem vārdiem sakot, tas ir pozitīvs skaitlis, kas kvadrātā rada skaitli a.
Tā kā vienādojuma x 2 = 0 sakne ir x = 0, mēs vienojāmies to pieņemt
Tagad mēs esam gatavi sniegt stingru definīciju.
Definīcija. Nenegatīva skaitļa a kvadrātsakne ir nenegatīvs skaitlis, kura kvadrāts ir vienāds ar a.

Šo skaitli apzīmē ar skaitli un sauc par radikālo skaitli.
Tātad, ja a ir nenegatīvs skaitlis, tad:

Ja< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
Tādējādi izteiksmei ir jēga tikai tad, ja > 0.
Viņi to saka - tas pats matemātiskais modelis (tā pati attiecība starp nenegatīviem skaitļiem
(a un b), bet tikai otrais ir aprakstīts vairāk vienkāršā valodā nekā pirmais (izmanto vienkāršākas rakstzīmes).

Nenegatīva skaitļa kvadrātsaknes atrašanas darbību sauc par kvadrātsakni. Šī darbība ir apgriezta kvadrātā. Salīdzināt:

Vēlreiz ņemiet vērā, ka tabulā parādās tikai pozitīvi skaitļi, kā norādīts kvadrātsaknes definīcijā. Un, lai gan, piemēram, (- 5) 2 = 25 ir patiesa vienādība, pārejiet no tās uz apzīmējumu, izmantojot kvadrātsakni (t.i., ierakstiet to.)
tas ir aizliegts. A-prioritāte,. ir pozitīvs skaitlis, kas nozīmē .
Bieži vien viņi saka nevis “kvadrātsakne”, bet gan “aritmētiskā kvadrātsakne”. Mēs izlaidām terminu “aritmētika” īsuma labad.

D) Atšķirībā no iepriekšējiem piemēriem, mēs nevaram norādīt precīzu skaitļa vērtību. Ir tikai skaidrs, ka tas ir lielāks par 4, bet mazāks par 5, kopš

4 2 = 16 (tas ir mazāks par 17) un 5 2 = 25 (tas ir vairāk nekā 17).
Taču aptuveno skaitļa vērtību var atrast, izmantojot mikrokalkulatoru, kurā ir ietverta kvadrātsaknes izvilkšanas darbība; šī vērtība ir 4,123.
Tātad,
Skaitlis, tāpat kā iepriekš apspriestais, nav racionāls.
e) To nevar aprēķināt, jo negatīva skaitļa kvadrātsakne neeksistē; ierakstam nav jēgas. Piedāvātais uzdevums ir nepareizs.
e) tā kā 31 > 0 un 31 2 = 961. Šādos gadījumos jāizmanto naturālu skaitļu kvadrātu tabula vai mikrokalkulators.
g) tā kā 75 > 0 un 75 2 = 5625.
Vienkāršākajos gadījumos kvadrātsaknes vērtību aprēķina uzreiz: utt. Sarežģītākos gadījumos ir jāizmanto skaitļu kvadrātu tabula vai jāveic aprēķini, izmantojot mikrokalkulatoru. Bet ko darīt, ja pie rokas nav galda vai kalkulatora? Atbildēsim uz šo jautājumu, atrisinot šādu piemēru.

2. piemērs. Aprēķināt
Risinājums.
Pirmais posms. Nav grūti uzminēt, ka atbilde būs 50 ar asti. Faktiski 50 2 = 2500 un 60 2 = 3600, savukārt skaitlis 2809 atrodas starp skaitļiem 2500 un 3600.

Otrā fāze. Atradīsim “asti”, t.i. vēlamā skaitļa pēdējais cipars. Līdz šim mēs zinām, ka, ja tiek ņemta sakne, tad atbilde var būt 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 vai 59. Mums ir jāpārbauda tikai divi skaitļi: 53 un 57, jo tikai tie, kvadrātā, rezultāts būs četrciparu skaitlis, kas beidzas ar 9, tas pats skaitlis, kas beidzas ar 2809.
Mums ir 532 = 2809 - tas ir tas, kas mums vajadzīgs (mums paveicās, mēs uzreiz trāpījām buļļa acī). Tātad = 53.
Atbilde:

53
3. piemērs. Taisnstūra trijstūra malas ir 1 cm un 2 cm Kāda ir trijstūra hipotenūza? (77. att.)

Risinājums.

Izmantosim no ģeometrijas zināmo Pitagora teorēmu: taisnleņķa trijstūra kāju garumu kvadrātu summa ir vienāda ar tā hipotenūzas garuma kvadrātu, t.i., a 2 + b 2 = c 2, kur a , b ir kājas, c ir taisnleņķa trīsstūra hipotenūza.

nozīmē,

Šis piemērs parāda, ka kvadrātsakņu ieviešana nav matemātiķu iegriba, bet gan objektīva nepieciešamība: reālajā dzīvē ir situācijas, kuru matemātiskajos modeļos ir ietverta kvadrātsaknes iegūšanas operācija. Iespējams, vissvarīgākā no šīm situācijām ir saistīta ar
kvadrātvienādojumu risināšana. Līdz šim, saskaroties ar kvadrātvienādojumiem ax 2 + bx + c = 0, mēs vai nu ņēmām vērā kreiso pusi (kas ne vienmēr izdevās), vai arī izmantojām grafiskās metodes (kas arī nav ļoti uzticama, lai gan skaista). Patiesībā, lai atrastu
tiek izmantotas kvadrātvienādojuma ax 2 + bx + c = 0 saknes x 1 un x 2 matemātikas formulās

kas satur, kā redzams, kvadrātsaknes zīmi.Šīs formulas praksē tiek izmantotas šādi. Pieņemsim, piemēram, mums jāatrisina vienādojums 2x 2 + bx - 7 = 0. Šeit a = 2, b = 5, c = - 7. Tāpēc
b2 - 4ac = 5 2 - 4. 2. (- 7) = 81. Tālāk atrodam . nozīmē,

Iepriekš mēs atzīmējām, ka tas nav racionāls skaitlis.
Matemātiķi šādus skaitļus sauc par neracionāliem. Jebkurš formas skaitlis ir neracionāls, ja nevar ņemt kvadrātsakni. Piemēram, utt. - neracionāli skaitļi. 5. nodaļā mēs vairāk runāsim par racionālajiem un iracionālajiem skaitļiem. Racionālie un iracionālie skaitļi kopā veido reālo skaitļu kopu, t.i. visu to skaitļu kopa, ar kuriem mēs strādājam reālajā dzīvē (patiesībā,
ness). Piemēram, tie visi ir reāli skaitļi.
Tāpat kā iepriekš definējām kvadrātsaknes jēdzienu, mēs varam definēt arī kubsaknes jēdzienu: nenegatīva skaitļa a kubsakne ir nenegatīvs skaitlis, kura kubs ir vienāds ar a. Citiem vārdiem sakot, vienlīdzība nozīmē, ka b 3 = a.

To visu pētīsim 11. klases algebras kursā.