Primjeri kako odrediti ograničenost funkcije. Svojstva funkcije - Hipermarket znanja

1) Opseg funkcije i opseg funkcija.

Opseg funkcije je skup svih važećih valjanih vrijednosti argumenta x(promenljiva x) za koju je funkcija y = f(x) definisano. Opseg funkcije je skup svih realnih vrijednosti y da funkcija prihvata.

U osnovnoj matematici, funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva.

2) Nule funkcije.

Nula funkcije je vrijednost argumenta pri kojoj je vrijednost funkcije jednaka nuli.

3) Intervali konstantnosti predznaka funkcije.

Intervali konstantnog predznaka funkcije su takvi skupovi vrijednosti argumenata na kojima su vrijednosti funkcije samo pozitivne ili samo negativne.

4) Monotonost funkcije.

Povećana funkcija (u određenom intervalu) je funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Opadajuća funkcija (u nekom intervalu) - funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

5) Parne (neparne) funkcije.

Parna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje X iz domena definicije jednakost f(-x) = f(x). Graf parne funkcije je simetričan oko y-ose.

Neparna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje X iz domena definicije jednakost f(-x) = - f(x). Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

6) Ograničene i neograničene funkcije.

Funkcija se naziva ograničenom ako postoji pozitivan broj M takav da je |f(x)| ≤ M za sve vrijednosti x . Ako takav broj ne postoji, onda je funkcija neograničena.

7) Periodičnost funkcije.

Funkcija f(x) je periodična ako postoji broj T koji nije nula takav da je za bilo koji x iz domena funkcije f(x+T) = f(x). Ovaj najmanji broj naziva se period funkcije. Sve trigonometrijske funkcije su periodične. (Trigonometrijske formule).

19. Osnovne elementarne funkcije, njihova svojstva i grafovi. Primjena funkcija u privredi.

Osnovne elementarne funkcije. Njihova svojstva i grafovi

1. Linearna funkcija.

Linearna funkcija naziva se funkcija oblika , gdje je x varijabla, a i b su realni brojevi.

Broj A nazvan nagibom prave linije, jednak je tangenti ugla nagiba ove prave linije u odnosu na pozitivan smjer x-ose. Grafikon linearne funkcije je prava linija. Definisano je sa dve tačke.

Svojstva linearne funkcije

1. Domena definicije - skup svih realnih brojeva: D (y) \u003d R

2. Skup vrijednosti je skup svih realnih brojeva: E(y)=R

3. Funkcija uzima nultu vrijednost za ili.

4. Funkcija raste (opada) u cijelom domenu definicije.

5. Linearna funkcija je kontinuirana na cijelom području definicije, diferencibilna i .

2. Kvadratna funkcija.

Funkcija oblika, gdje je x varijabla, a koeficijenti a, b, c su realni brojevi, naziva se kvadratni.

Odds a, b, c odrediti lokaciju grafa na koordinatnoj ravni

Koeficijent a određuje smjer grana. Graf kvadratne funkcije je parabola. Koordinate vrha parabole nalaze se po formulama:

Svojstva funkcije:

2. Skup vrijednosti jednog od intervala: ili.

3. Funkcija uzima nulte vrijednosti kada , gdje se diskriminanta izračunava po formuli:.

4. Funkcija je kontinuirana u cijeloj domeni definicije i derivacija funkcije je jednaka .

Lekcija i prezentacija na temu: "Svojstva funkcije. Povećanje i smanjenje funkcije"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, sugestije! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet prodavnici "Integral" za 9. razred
Interaktivni vodič za učenje za 9. razred "Pravila i vježbe iz geometrije"
Elektronski udžbenik "Razumljiva geometrija" za 7-9 razred

Ljudi, nastavljamo proučavati numeričke funkcije. Danas ćemo se fokusirati na temu kao što su svojstva funkcije. Funkcije imaju mnoga svojstva. Sjetite se koja svojstva smo nedavno proučavali. Tako je, obim i opseg, oni su jedno od ključnih svojstava. Nikada ne zaboravite na njih i zapamtite da funkcija uvijek ima ova svojstva.

U ovom dijelu ćemo definirati neka svojstva funkcija. Redoslijed kojim ćemo ih odrediti, preporučujem da se pridržavate prilikom rješavanja problema.

Funkcija rastuća i opadajuća

Prvo svojstvo koje ćemo definirati je povećanje i smanjenje funkcije.

Funkcija se naziva rastućom na skupu X⊂D(f) ako za bilo koje x1 i x2 takve da je x1< x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
Funkcija se naziva opadajućom na skupu X⊂D(f) ako za bilo koje x1 i x2 takve da je x1< x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). To jest, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

Koncepte "povećanje" i "smanjenje" funkcije vrlo je lako razumjeti ako pažljivo pogledate grafove funkcije. Za rastuću funkciju: nekako idemo uzbrdo, za opadajuću funkciju, odnosno idemo dolje. Opšti prikaz rastućih i opadajućih funkcija prikazan je u grafikonima ispod.

Povećanje i smanjenje funkcije općenito se naziva monotonost. Odnosno, naš zadatak je pronaći intervale opadajućih i rastućih funkcija. U opštem slučaju, ovo se formuliše na sledeći način: pronađite intervale monotonosti ili ispitajte monotonost funkcije.

Istražite monotonost funkcije $y=3x+2$.
Rješenje: Provjerite funkciju za bilo koje x1 i x2 i neka x1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Jer, x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Ograničenje funkcije

Kaže se da je funkcija $y=f(x)$ ograničena odozdo na skupu X⊂D(f) ako postoji broj a takav da je za bilo koji xϵX nejednakost f(x)< a.

Kaže se da je funkcija $y=f(x)$ ograničena odozgo na skupu X⊂D(f) ako postoji broj a takav da je za bilo koji xϵX nejednakost f(x)< a.

Ako interval X nije naznačen, onda se smatra da je funkcija ograničena na cijelom domenu definicije. Funkcija ograničena i odozgo i odozdo naziva se ograničenom.

Ograničenje funkcije je lako pročitati iz grafa. Moguće je nacrtati pravu liniju
$y=a$, a ako je funkcija viša od ove linije, onda je ograničena odozdo. Ako ispod, onda iznad. Ispod je graf niže ograničene funkcije. Graf ograničene funkcije, momci, pokušajte da ga nacrtate sami.

Istražite ograničenost funkcije $y=\sqrt(16-x^2)$.
Rješenje: Kvadratni korijen nekog broja je veći ili jednak nuli. Očigledno je i naša funkcija veća ili jednaka nuli, odnosno ograničena je odozdo.
Kvadratni korijen možemo izdvojiti samo iz nenegativnog broja, tada $16-x^2≥0$.
Rješenje naše nejednakosti će biti interval [-4;4]. Na ovom segmentu $16-x^2≤16$ ili $\sqrt(16-x^2)≤4$, ali to znači ograničenost odozgo.
Odgovor: naša funkcija je ograničena sa dva reda $y=0$ i $y=4$.

Najviša i najniža vrijednost

Najmanja vrijednost funkcije y= f(x) na skupu H⊂D(f) je neki broj m, takav da je:

b) Za bilo koji xϵX vrijedi $f(x)≥f(x0)$.

Najveća vrijednost funkcije y=f(x) na skupu H⊂D(f) je neki broj m, takav da je:
a) Postoji neki x0 takav da je $f(x0)=m$.
b) Za bilo koji xϵX, $f(x)≤f(x0)$ je zadovoljeno.

Najveća i najmanja vrijednost obično se označavaju sa y max. i y ime. .

Koncepti ograničenosti i najveće s najmanjom vrijednošću funkcije su usko povezani. Sljedeće izjave su tačne:
a) Ako postoji najmanja vrijednost za funkciju, onda je ona ograničena odozdo.
b) Ako postoji maksimalna vrijednost za funkciju, onda je ona ograničena odozgo.
c) Ako funkcija nije ograničena odozgo, onda nema maksimalne vrijednosti.
d) Ako funkcija nije ograničena ispod, onda najmanja vrijednost ne postoji.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Rješenje: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
Za $x=4$ $f(4)=5$, za sve ostale vrijednosti, funkcija uzima manje vrijednosti ili ne postoji, odnosno, ovo je najveća vrijednost funkcije.
Po definiciji: $9-4x^2+16x≥0$. Pronađite korijene kvadratnog trinoma $(2x+1)(2x-9)≥0$. Na $x=-0.5$ i $x=4.5$ funkcija nestaje, u svim ostalim tačkama je veća od nule. Tada je, po definiciji, najmanja vrijednost funkcije nula.
Odgovor: y max. =5 i y min. =0.

Ljudi, također smo proučavali koncepte konveksnosti funkcije. Prilikom rješavanja nekih problema može nam zatrebati ova nekretnina. Ovo svojstvo se također lako utvrđuje pomoću grafova.

Funkcija je konveksna prema dolje ako su bilo koje dvije točke grafa izvorne funkcije povezane, a graf funkcije je ispod linije koja povezuje točke.

Funkcija je konveksna prema gore ako su bilo koje dvije točke grafa izvorne funkcije povezane, a graf funkcije je iznad linije koja povezuje točke.

Funkcija je kontinuirana ako graf naše funkcije nema diskontinuiteta, kao što je graf funkcije iznad.

Ako želite pronaći svojstva funkcije, redoslijed traženja svojstava je sljedeći:
a) Područje definicije.
b) Monotonija.
c) ograničenje.
d) Najveća i najmanja vrijednost.
e) Kontinuitet.
f) Raspon vrijednosti.

Pronađite svojstva funkcije $y=-2x+5$.
Rješenje.
a) Područje definicije D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotonija. Provjerimo bilo koje vrijednosti x1 i x2 i neka x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Jer x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) ograničenje. Očigledno, funkcija nije ograničena.
d) Najveća i najmanja vrijednost. Pošto funkcija nije ograničena, ne postoji maksimalna ili minimalna vrijednost.
e) Kontinuitet. Graf naše funkcije nema praznina, tada je funkcija kontinuirana.
f) Raspon vrijednosti. E(y)=(-∞;+∞).

Zadaci o svojstvima funkcije za nezavisno rješenje

Pronađite svojstva funkcije:
a) $y=2x+7$,
b) $y=3x^2$,
c) $y=\frac(4)(x)$.

Na skupu A iz domene D(f) ćemo zvati funkciju y=f(x) BOUNDED UP (BOTTOM) ako postoji takav broj M , da je za bilo koji x iz ovog postavljen uslov

Koristeći logičke simbole, definicija se može napisati kao:

f(x) – omeđen odozgo na setu

(f(x) – ograničeno odozdo na setu

Funkcije ograničene apsolutnom vrijednošću ili jednostavno ograničene se također uvode u razmatranje.

Pozvat ćemo funkciju OGRANIČENU na skupu A iz domene definicije ako postoji pozitivan broj M takav da

Jezikom logičkih simbola

f(x) – ograničeno na setu

Funkcija koja nije ograničena naziva se neograničena. Znamo da definicije date kroz negaciju imaju malo sadržaja. Da bismo ovu tvrdnju formulisali kao definiciju, koristimo svojstva kvantifikatorskih operacija (3.6) i (3.7). Tada će poricanje ograničenosti funkcije na jeziku logičkih simbola dati:

f(x) – ograničeno na setu

Dobiveni rezultat nam omogućava da formuliramo sljedeću definiciju.

Funkcija se naziva NEOGRANIČENA na skupu A, koji pripada domeni funkcije, ako na ovom skupu za bilo koji pozitivan broj M postoji takva vrijednost argumenta x , da će vrijednost i dalje prelaziti vrijednost M, odnosno .

Kao primjer, razmotrite funkciju

Definiran je na cijeloj realnoj osi. Ako uzmemo segment [–2;1] (skup A), onda će na njemu biti ograničen i odozgo i odozdo.

Zaista, da bismo pokazali da je ograničen odozgo, moramo razmotriti predikat

i pokazati da postoji (postoji) M takvo da će za sve x uzeti na segmentu [–2;1] biti tačno

Nije teško naći takvog M. Možemo pretpostaviti da je M = 7, kvantifikator postojanja podrazumijeva pronalaženje barem jedne vrijednosti M. Prisustvo takvog M potvrđuje činjenicu da je funkcija na segmentu [–2;1] ograničena odozgo.

Da bismo dokazali njegovu ograničenost odozdo, moramo razmotriti predikat

Vrijednost M, koja osigurava istinitost ovog predikata, je, na primjer, M = -100.

Može se dokazati da će funkcija biti i ograničena po modulu: za sve x iz segmenta [–2;1], vrijednosti funkcije se poklapaju sa vrijednostima , dakle, kao M, možemo uzeti , na primjer, prethodna vrijednost M = 7.

Pokažimo da će ista funkcija, ali na intervalu , biti neograničena, tj.

Da biste pokazali da takav x postoji, razmotrite izjavu

Tražeći tražene vrijednosti x među pozitivnim vrijednostima argumenta, dobijamo

To znači da bez obzira na pozitivan Mwe, vrijednosti x osiguravaju ispunjenje nejednakosti

se dobijaju iz omjera.

Razmatrajući funkciju na cijeloj realnoj osi, može se pokazati da je neograničena u apsolutnoj vrijednosti.

Zaista, iz nejednakosti

To jest, bez obzira koliko je veliko pozitivno M, ili će osigurati ispunjenje nejednakosti .

EKSTREMNA FUNKCIJA.

Funkcija ima u točki With lokalni maksimum (minimum) ako postoji takva okolina ove tačke da za x¹ With ovo susjedstvo zadovoljava nejednakost

posebno da tačka ekstrema može biti samo unutrašnja tačka jaza, a f(x) mora biti definisana u njoj. Mogući slučajevi odsustva ekstremuma prikazani su na Sl. 8.8.

Ako se funkcija povećava (smanjuje) na nekom intervalu i smanjuje (povećava) u nekom intervalu, tada je tačka With je lokalna maksimalna (minimalna) tačka.

Odsustvo maksimuma funkcije f(x) u tački With može se formulisati ovako:

_______________________

f(x) ima maksimum na c

To znači da ako tačka c nije lokalna maksimalna tačka, onda bez obzira na komšiluk koji uključuje tačku c kao unutrašnju, postoji barem jedna vrednost x koja nije jednaka c, za koju . Dakle, ako nema maksimuma u tački c, onda možda uopće ne postoji ekstrem u ovoj tački, ili može biti minimalna tačka (slika 8.9).

Koncept ekstrema daje komparativnu procjenu vrijednosti funkcije u bilo kojoj tački u odnosu na obližnje. Slično poređenje vrijednosti funkcije može se napraviti za sve točke nekog intervala.

NAJVEĆA (MINIMALNA) vrijednost funkcije na skupu je njena vrijednost u tački iz ovog skupa tako da je – za . Najveća vrijednost funkcije postiže se u unutrašnjoj tački segmenta , a najmanja – na njegovom lijevom kraju.

Za određivanje najveće (najmanje) vrijednosti funkcije date na segmentu, potrebno je izabrati najveći (najmanji) broj među svim vrijednostima njenih maksimuma (minimuma), kao i vrijednosti uzetih na krajevi intervala. To će biti najveća (najmanja) vrijednost funkcije. Ovo pravilo će biti precizirano kasnije.

Problem pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije na otvorenom intervalu nije uvijek lako riješen. Na primjer, funkcija

u intervalu (slika 8.11) ih nema.

Uvjerimo se, na primjer, da ova funkcija nema najveću vrijednost. Zaista, s obzirom na monotonost funkcije, može se tvrditi da bez obzira koliko blizu postavimo vrijednosti x lijevo od jedinice, postojat će drugi x u kojem će vrijednosti funkcije biti veće od njegove vrijednosti u datim fiksnim tačkama, ali još uvijek manje od jedinice.

Imajte na umu da sve definicije uključuju numerički skup X, koji je dio domene funkcije: X sa D(f). U praksi se najčešće javljaju slučajevi kada je X numerički interval (segment, interval, zraka itd.).

Definicija 1.

Funkcija y \u003d f (x) naziva se rastućom na skupu X sa D (f) ako za bilo koje dvije točke x 1 i x 2 skupa X takve da je x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

Definicija 2.

Funkcija y \u003d f (x) naziva se opadajućom na skupu X sa D (f) ako je za bilo koju monotonost dvije točke x 1 i x 2 skupa X, tako da je x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x2).

U praksi je zgodnije koristiti sljedeće formulacije: funkcija se povećava ako veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije; funkcija se smanjuje ako veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

U 7. i 8. razredu koristili smo sljedeću geometrijsku interpretaciju pojmova rastućih ili opadajućih funkcija: krećući se po grafikonu rastuće funkcije s lijeva na desno, nekako se penjemo uz brdo (Sl. 55); krećući se duž grafika opadajuće funkcije s lijeva na desno, kao da se spuštamo niz brdo (Sl. 56).
Obično se pojmovi „rastući funkcija“, „opadajuća funkcija“ objedinjuju zajedničkim nazivom monotonska funkcija, a proučavanje funkcije za povećanje ili smanjenje naziva se proučavanje funkcije za monotonost.

Napominjemo još jednu okolnost: ako funkcija raste (ili opada) u svom prirodnom domenu, onda se obično kaže da se funkcija povećava (ili opada) - bez specificiranja skupa brojeva X.

Primjer 1

Ispitajte monotonost funkcije:

A) y \u003d x 3 + 2; b) y \u003d 5 - 2x.

Rješenje:

a) Uzmite proizvoljne vrijednosti argumenta x 1 i x 2 i neka je x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Posljednja nejednakost znači da je f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Dakle, od x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), što znači da je data funkcija opadajuća (na cijeloj brojevnoj pravoj).

Definicija 3.

Funkcija y - f(x) naziva se ograničenom odozdo na skupu X sa D (f) ako su sve vrijednosti funkcije na skupu X veće od određenog broja (drugim riječima, ako postoji broj m takav da je za bilo koju vrijednost x ê X nejednakost f( x) >m).

Definicija 4.

Funkcija y \u003d f (x) naziva se ograničenom odozgo na skupu X sa D (f) ako su sve vrijednosti funkcije manje od određenog broja (drugim riječima, ako postoji broj M takav da za bilo koju vrijednost x ê X nejednakost f (x)< М).

Ako skup X nije specificiran, onda se pretpostavlja da je funkcija ograničena odozdo ili odozgo u cijeloj domeni definicije.

Ako je funkcija ograničena i odozdo i odozgo, onda se naziva ograničenom.

Ograničenost funkcije se lako čita iz njenog grafa: ako je funkcija ograničena odozdo, tada se njen graf u potpunosti nalazi iznad neke horizontalne linije y = m (Sl. 57); ako je funkcija ograničena odozgo, tada se njen graf u potpunosti nalazi ispod neke horizontalne linije y = M (slika 58).

Primjer 2 Istražite funkciju za ograničenost
Rješenje. S jedne strane, nejednakost je sasvim očigledna (po definiciji kvadratni korijen To znači da je funkcija ograničena odozdo. S druge strane, imamo i stoga
To znači da je funkcija ograničena odozgo. Sada pogledajte grafik date funkcije (slika 52 iz prethodnog pasusa). Ograničenost funkcije i odozgo i odozdo se prilično lako čita iz grafa.

Definicija 5.

Broj m naziva se najmanja vrijednost funkcije y \u003d f (x) na skupu X C D (f), ako:

1) u X postoji takva tačka x 0 da je f(x 0) = m;

2) za sve x iz X ispunjena je nejednakost m>f(h 0).

Definicija 6.

Broj M naziva se najveća vrijednost funkcije y \u003d f (x) na skupu X C D (f), ako:
1) u X postoji takva tačka x 0 da je f(x 0) = M;
2) za sve x iz X, nejednakost
Najmanju vrijednost funkcije i u 7. i 8. razredu označili smo simbolom y, a najveću vrijednost simbolom y.

Ako skup X nije specificiran, onda se podrazumijeva da se radi o pronalaženju najmanje ili najveće vrijednosti funkcije u cijeloj domeni definicije.

Sljedeće korisne izjave su prilično očigledne:

1) Ako funkcija ima Y, onda je ograničena odozdo.
2) Ako funkcija ima Y, onda je ograničena odozgo.
3) Ako funkcija nije ograničena ispod, onda Y ne postoji.
4) Ako funkcija nije ograničena odozgo, onda Y ne postoji.

Primjer 3

Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije
Rješenje.

Sasvim je očito, posebno ako se pribjegne grafu funkcije (slika 52), da je = 0 (funkcija dostiže ovu vrijednost u tačkama x = -3 i x = 3), a = 3 (funkcija dostiže ova vrijednost u tački x = 0.
U 7. i 8. razredu spomenuli smo još dva svojstva funkcija. Prvi se zvao svojstvo konveksnosti funkcije. Smatra se da je funkcija konveksna nadole na intervalu X ako povezivanjem bilo koje dve tačke njenog grafa (sa apscisama od X) sa ravnim segmentom nalazimo da odgovarajući deo grafa leži ispod nacrtanog segmenta ( 59). kontinuitet Funkcija je konveksna nagore na intervalu X ako spajanjem bilo koje dvije tačke njenog grafa (sa apscisama iz X) pravolinijskim segmentom nalazimo da odgovarajući dio grafika leži iznad nacrtanog segmenta (Sl. 60 ).

Drugo svojstvo - kontinuitet funkcije na intervalu X - znači da je graf funkcije na intervalu X kontinuiran, tj. nema uboda i skokova.

Komentar.

U stvari, u matematici je sve, kako kažu, "potpuno suprotno": graf funkcije se prikazuje kao puna linija (bez uboda i skokova) samo kada se dokaže kontinuitet funkcije. Ali formalna definicija kontinuiteta funkcije, koja je prilično složena i suptilna, još je izvan naših moći. Isto se može reći i za konveksnost funkcije. Raspravljajući o ova dva svojstva funkcija, nastavit ćemo se oslanjati na vizualno-intuitivne reprezentacije.

Pogledajmo sada naše znanje. Prisjećajući se funkcija koje smo učili u 7. i 8. razredu, razjasnit ćemo kako izgledaju njihovi grafovi i navesti svojstva funkcije, pridržavajući se određenog reda, na primjer: domen definicije; monotono; ograničenje; , ; kontinuitet; raspon vrijednosti; konveksan.

Nakon toga će se pojaviti nova svojstva funkcija, a lista svojstava će se u skladu s tim promijeniti.

1. Konstantna funkcija y \u003d C

Grafikon funkcije y \u003d C prikazan je na sl. 61 - prava linija, paralelna sa x-osi. Ovo je toliko nezanimljiva funkcija da nema smisla nabrajati njena svojstva.

Grafikon funkcije y \u003d kx + m je prava linija (sl. 62, 63).

Svojstva funkcije y \u003d kx + m:

1)
2) raste ako je k > 0 (slika 62), smanjuje se ako je k< 0 (рис. 63);

4) nema ni najveće ni najmanje vrednosti;
5) funkcija je kontinuirana;
6)
7) nema smisla govoriti o konveksnosti.

Graf funkcije y = kx 2 je parabola s vrhom u početku i s granama usmjerenim prema gore ako je k\u003e O (slika 64), a prema dolje ako je k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Svojstva funkcije y - kx 2:

Za slučaj k > 0 (slika 64):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = ne postoji;
5) kontinuirano;
6) E(f) = funkcija opada, a na intervalu , opada na zraku;
7) konveksan prema gore.

Grafikon funkcije y \u003d f (x) gradi se tačku po tačku; što više tačaka oblika (x; f (x)) uzmemo, dobijamo tačniju ideju o grafu. Ako uzmemo mnogo ovih tačaka, onda će ideja grafa biti potpunija. U ovom slučaju intuicija nam govori da graf treba nacrtati kao punu liniju (u ovom slučaju kao parabolu). A onda, čitajući graf, donosimo zaključke o kontinuitetu funkcije, o njenoj konveksnosti prema dolje ili prema gore, o rasponu funkcije. Morate shvatiti da su od navedenih sedam svojstava samo svojstva 1), 2), 3), 4) „legitimna“ u smislu da smo u mogućnosti da ih potkrijepimo, pozivajući se na precizne definicije. Imamo samo vizualno-intuitivne predstave o preostalim svojstvima. Usput, u tome nema ništa loše. Iz istorije razvoja matematike poznato je da je čovječanstvo često i dugo koristilo različita svojstva određenih objekata, ne znajući točne definicije. Onda, kada su takve definicije mogle da se formulišu, sve je došlo na svoje mesto.

Grafikon funkcije je hiperbola, a koordinatne ose služe kao asimptote hiperbole (sl. 66, 67).

1) D(f) = (-00.0)1U (0.+oo);
2) ako je k > 0, tada funkcija opada na otvorenom zraku (-oo, 0) i na otvorenom zraku (0, +oo) (Sl. 66); ako da< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) nije ograničen ni odozdo ni odozgo;
4) nema ni najmanjih ni najvećih vrednosti;
5) funkcija je kontinuirana na otvorenom zraku (-oo, 0) i na otvorenom zraku (0, +oo);
6) E(f) = (-oo, 0) U (0, + oo);
7) ako je k > 0, tada je funkcija konveksna prema gore na x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, tj. na otvorenoj gredi (0, +oo) (Sl. 66). Ako da< 0, то функция выпукла вверх при х >o i konveksan prema dolje na x< О (рис. 67).
Graf funkcije je grana parabole (slika 68). Svojstva funkcije:
1) D(f) = , raste na zraku )