Cómo determinar la acotación de una función ejemplos. Propiedades de la función - Hipermercado del conocimiento

1) Alcance de funciones y rango de funciones.

El alcance de una función es el conjunto de todos los valores válidos válidos del argumento X(variable X) para el cual la función y = f(x) definido. El rango de una función es el conjunto de todos los valores reales y que la función acepta.

En matemáticas elementales, las funciones se estudian solo en el conjunto de números reales.

2) Ceros de función.

El cero de la función es el valor del argumento en el que el valor de la función es igual a cero.

3) Intervalos de constancia de signo de una función.

Los intervalos de signo constante de una función son conjuntos de valores de argumento en los que los valores de la función son solo positivos o solo negativos.

4) Monotonicidad de la función.

Una función creciente (en un intervalo determinado) es una función en la que un valor mayor del argumento de este intervalo corresponde a un valor mayor de la función.

Función decreciente (en algún intervalo): una función en la que un valor mayor del argumento de este intervalo corresponde a un valor menor de la función.

5) Funciones pares (impares).

Una función par es una función cuyo dominio de definición es simétrico con respecto al origen y para cualquier X del dominio de definición la igualdad f(-x) = f(x). La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y.

Una función impar es una función cuyo dominio de definición es simétrico con respecto al origen y para cualquier X del dominio de definición la igualdad f(-x) = - f(x). La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.

6) Funciones limitadas e ilimitadas.

Una función se llama acotada si existe un número positivo M tal que |f(x)| ≤ M para todos los valores de x. Si no existe tal número, entonces la función es ilimitada.

7) Periodicidad de la función.

Una función f(x) es periódica si existe un número T distinto de cero tal que para cualquier x del dominio de la función, f(x+T) = f(x). Este número más pequeño se llama el período de la función. Todas las funciones trigonométricas son periódicas. (Fórmulas trigonométricas).

19. Funciones elementales básicas, sus propiedades y gráficas. Aplicación de funciones en la economía.

Funciones elementales básicas. Sus propiedades y gráficas.

1. Función lineal.

Función lineal se llama función de la forma , donde x es una variable y y b son números reales.

Número A Llamada pendiente de una línea recta, es igual a la tangente del ángulo de inclinación de esta línea recta a la dirección positiva del eje x. La gráfica de una función lineal es una línea recta. Está definido por dos puntos.

Propiedades de funciones lineales

1. Dominio de definición: el conjunto de todos los números reales: D (y) \u003d R

2. El conjunto de valores es el conjunto de todos los números reales: E(y)=R

3. La función toma un valor cero para o.

4. La función crece (decrece) en todo el dominio de definición.

5. La función lineal es continua en todo el dominio de definición, derivable y .

2. Función cuadrática.

Una función de la forma, donde x es una variable, los coeficientes a, b, c son números reales, se llama cuadrático.

Impares a B C determinar la ubicación de la gráfica en el plano de coordenadas

El coeficiente a determina la dirección de las ramas. La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Las coordenadas del vértice de la parábola se encuentran mediante las fórmulas:

Propiedades de la función:

2. Un conjunto de valores de uno de los intervalos: o.

3. La función toma valores cero cuando , donde el discriminante se calcula mediante la fórmula:.

4. La función es continua en todo el dominio de definición y la derivada de la función es igual a .

Lección y presentación sobre el tema: "Propiedades de una función. Función de aumento y disminución"

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Chicos, seguimos estudiando funciones numéricas. Hoy nos centraremos en un tema como las propiedades de la función. Las funciones tienen muchas propiedades. Recuerda qué propiedades hemos estudiado recientemente. Así es, alcance y alcance, son una de las propiedades clave. Nunca te olvides de ellos y recuerda que una función siempre tiene estas propiedades.

En esta sección, definiremos algunas propiedades de las funciones. El orden en que los determinaremos, recomiendo seguir al resolver problemas.

Función Ascendente y Decreciente

La primera propiedad que definiremos es el aumento y la disminución de la función.

Una función se llama creciente en un conjunto X⊂D(f) si para cualquier x1 y x2 tal que x1< x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
Una función se llama decreciente en el conjunto X⊂D(f) si para cualquier x1 y x2 tal que x1< x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). Es decir, un valor mayor del argumento corresponde a un valor menor de la función.

Los conceptos de "aumento" y "disminución" de una función son muy fáciles de entender si observas detenidamente las gráficas de la función. Para una función creciente: subimos la colina, para una función decreciente, respectivamente, bajamos. Una vista general de las funciones crecientes y decrecientes se presenta en los gráficos a continuación.

El aumento y disminución de una función generalmente se denomina monotonicidad. Es decir, nuestra tarea es encontrar los intervalos de funciones crecientes y decrecientes. En el caso general, esto se formula de la siguiente manera: encuentre intervalos de monotonicidad o examine una función para monotonicidad.

Investiga la monotonicidad de la función $y=3x+2$.
Solución: Compruebe la función para cualquier x1 y x2 y sea x1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
porque, x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Limitación de funciones

Se dice que una función $y=f(x)$ está acotada por abajo en un conjunto X⊂D(f) si existe un número a tal que para cualquier xϵX la desigualdad f(x)< a.

Se dice que una función $y=f(x)$ está acotada superiormente en un conjunto X⊂D(f) si existe un número a tal que para cualquier xϵX la desigualdad f(x)< a.

Si no se indica el intervalo X, se considera que la función está limitada en todo el dominio de definición. Una función acotada tanto por arriba como por abajo se llama acotada.

La limitación de la función es fácil de leer en el gráfico. Es posible dibujar una línea recta.
$y=a$, y si la función es más alta que esta línea, entonces está acotada desde abajo. Si debajo, entonces respectivamente arriba. A continuación se muestra un gráfico de una función de límite inferior. Gráfica de una función acotada, muchachos, traten de dibujarla ustedes mismos.

Investiga la acotación de la función $y=\sqrt(16-x^2)$.
Solución: La raíz cuadrada de algún número es mayor o igual a cero. Obviamente, nuestra función también es mayor o igual a cero, es decir, está acotada por abajo.
Podemos extraer la raíz cuadrada solo de un número no negativo, entonces $16-x^2≥0$.
La solución a nuestra desigualdad será el intervalo [-4;4]. En este segmento $16-x^2≤16$ o $\sqrt(16-x^2)≤4$, pero esto significa delimitación desde arriba.
Respuesta: nuestra función está limitada por dos líneas $y=0$ y $y=4$.

Valor más alto y más bajo

El valor más pequeño de la función y= f(x) en el conjunto Х⊂D(f) es un número m, tal que:

b) Para cualquier xϵX, se cumple $f(x)≥f(x0)$.

El mayor valor de la función y=f(x) en el conjunto Х⊂D(f) es un número m, tal que:
a) Existe algún x0 tal que $f(x0)=m$.
b) Para cualquier xϵX, $f(x)≤f(x0)$ se cumple.

El valor más grande y más pequeño generalmente se denota por y max. y nombre. .

Los conceptos de acotación y el mayor con el menor valor de una función están íntimamente relacionados. Las siguientes afirmaciones son verdaderas:
a) Si hay un valor mínimo para una función, entonces está acotada por abajo.
b) Si hay un valor máximo para una función, entonces está acotada por arriba.
c) Si la función no está acotada superiormente, entonces no hay valor máximo.
d) Si la función no está acotada por debajo, entonces el valor más pequeño no existe.

Encuentra el valor más grande y más pequeño de la función $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Solución: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
Para $x=4$ $f(4)=5$, para todos los demás valores, la función toma valores más pequeños o no existe, es decir, este es el valor más grande de la función.
Por definición: $9-4x^2+16x≥0$. Encuentra las raíces del trinomio cuadrado $(2x+1)(2x-9)≥0$. En $x=-0.5$ y $x=4.5$ la función se anula, en todos los demás puntos es mayor que cero. Entonces, por definición, el valor más pequeño de la función es cero.
Respuesta: y máx. =5 y y min. =0.

Chicos, también hemos estudiado los conceptos de convexidad de una función. Al resolver algunos problemas, es posible que necesitemos esta propiedad. Esta propiedad también se determina fácilmente usando gráficos.

La función es convexa hacia abajo si dos puntos cualesquiera de la gráfica de la función original están conectados y la gráfica de la función está debajo de la línea que conecta los puntos.

La función es convexa hacia arriba si dos puntos cualesquiera de la gráfica de la función original están conectados y la gráfica de la función está arriba de la línea que conecta los puntos.

Una función es continua si la gráfica de nuestra función no tiene discontinuidades, como la gráfica de la función anterior.

Si desea encontrar las propiedades de una función, la secuencia de búsqueda de propiedades es la siguiente:
a) Dominio de definición.
b) Monotonía.
c) limitación.
d) El valor mayor y menor.
e) Continuidad.
f) Rango de valores.

Encuentra las propiedades de la función $y=-2x+5$.
Solución.
a) Dominio de definición D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotonía. Verifiquemos cualquier valor x1 y x2 y dejemos x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
porque x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) limitación. Obviamente, la función no está limitada.
d) El valor mayor y menor. Como la función no está acotada, no hay un valor máximo o mínimo.
e) Continuidad. La gráfica de nuestra función no tiene huecos, entonces la función es continua.
f) Rango de valores. E(y)=(-∞;+∞).

Tareas sobre las propiedades de una función para solución independiente

Encuentra las propiedades de la función:
a) $y=2x+7$,
b) $y=3x^2$,
c) $y=\frac(4)(x)$.

Llamaremos a la función y=f(x) ABONADA (ABAJO) en el conjunto A del dominio D(f), si existe tal número METRO , que para cualquier x de este conjunto la condición

Usando símbolos lógicos, la definición se puede escribir como:

f(x) – delimitado desde arriba en el conjunto

(f(x) – delimitado desde abajo en el conjunto

También se introducen en consideración funciones acotadas en valor absoluto o simplemente acotadas.

Llamaremos a una función ACOTADA en el conjunto A del dominio de definición si existe un número positivo M tal que

En el lenguaje de los símbolos lógicos

f(x) – limitado en el conjunto

Una función que no está acotada se llama no acotada. Sabemos que las definiciones dadas por negación tienen poco contenido. Para formular esta afirmación como una definición, usamos las propiedades de las operaciones cuantificadoras (3.6) y (3.7). Entonces la negación de la acotación de la función en el lenguaje de los símbolos lógicos dará:

f(x) – limitado en el conjunto

El resultado obtenido nos permite formular la siguiente definición.

Una función se llama ILIMITADA en el conjunto A, que pertenece al dominio de la función, si en este conjunto para cualquier número positivo M existe tal valor del argumento x , que el valor aún excederá el valor de M, es decir, .

Como ejemplo, considere la función

Está definida sobre todo el eje real. Si tomamos el segmento [–2;1] (conjunto A), entonces estará delimitado tanto desde arriba como desde abajo.

De hecho, para mostrar que está acotado desde arriba, debemos considerar el predicado

y demuestre que hay (existe) M tal que para todo x tomado en el segmento [–2;1], será verdadero

No es difícil encontrar una M. Podemos suponer M = 7, el cuantificador de existencia implica encontrar al menos un valor de M. La presencia de tal M confirma el hecho de que la función en el segmento [–2;1] está acotada por arriba.

Para probar su acotación desde abajo, necesitamos considerar el predicado

El valor de M, que asegura la verdad de este predicado, es, por ejemplo, M = -100.

Se puede probar que la función también estará acotada en módulo: para todo x del segmento [–2;1], los valores de la función coinciden con los valores de , por lo tanto, como M, podemos tomar , por ejemplo, el valor anterior M = 7.

Demostremos que la misma función, pero en el intervalo , será ilimitada, es decir,

Para mostrar que tales x existen, considere el enunciado

Buscando los valores requeridos de x entre los valores positivos del argumento, obtenemos

Esto significa que no importa qué M positivo tomemos, los valores de x que aseguran el cumplimiento de la desigualdad

se obtienen a partir de la relación.

Considerando una función en todo el eje real, se puede demostrar que es ilimitada en valor absoluto.

De hecho, de la desigualdad

Es decir, no importa cuán grande sea la M positiva, o asegurará el cumplimiento de la desigualdad.

FUNCIÓN EXTREMA.

La función tiene en el punto Con máximo local (mínimo) si existe tal vecindad de este punto que para X¹ Con este barrio satisface la desigualdad

especialmente que el punto extremo solo puede ser un punto interno del hueco, y f(x) debe estar definida en él. Los posibles casos de ausencia de un extremo se muestran en las Figs. 8.8.

Si una función crece (decrece) en algún intervalo y decrece (aumenta) en algún intervalo, entonces el punto Con es el punto máximo (mínimo) local.

La ausencia de un máximo de la función f(x) en un punto Con se puede formular así:

_______________________

f(x) tiene un máximo en c

Esto significa que si el punto c no es un punto máximo local, entonces no importa cuál sea la vecindad que incluye al punto c como interior, hay al menos un valor de x no igual a c, para el cual . Por lo tanto, si no hay un máximo en el punto c, es posible que no haya ningún extremo en este punto, o que sea un punto mínimo (figura 8.9).

El concepto de extremo da una evaluación comparativa del valor de una función en cualquier punto en relación con los cercanos. Se puede hacer una comparación similar de los valores de la función para todos los puntos de algún intervalo.

El valor MÁS GRANDE (MÍNIMO) de una función en un conjunto es su valor en un punto de este conjunto tal que – para . El mayor valor de la función se alcanza en el punto interior del segmento, y el menor – en su extremo izquierdo.

Para determinar el valor mayor (menor) de una función dada en un segmento, es necesario elegir el número mayor (menor) entre todos los valores de sus máximos (mínimos), así como los valores tomados en los extremos del intervalo. Será el mayor (menor) valor de la función. Esta regla se especificará más adelante.

El problema de encontrar los valores mayor y menor de una función en un intervalo abierto no siempre se resuelve fácilmente. Por ejemplo, la función

en el intervalo (Fig. 8.11) no los tiene.

Asegurémonos, por ejemplo, de que esta función no tenga el mayor valor. En efecto, dada la monotonicidad de la función, se puede argumentar que por muy cerca que fijemos los valores de x a la izquierda de la unidad, habrá otras x en las que los valores de la función serán mayores que sus valores en los puntos fijos dados, pero aún menos que la unidad.

Tenga en cuenta que todas las definiciones incluyen un conjunto numérico X, que es parte del dominio de la función: X con D(f). En la práctica, la mayoría de las veces hay casos en que X es un intervalo numérico (segmento, intervalo, rayo, etc.).

Definición 1.

Una función y \u003d f (x) se llama creciente en un conjunto X con D (f) si para dos puntos x 1 y x 2 del conjunto X tal que x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

Definición 2.

Una función y \u003d f (x) se llama decreciente en un conjunto X con D (f) si para cualquier monotonicidad de dos puntos x 1 y x 2 del conjunto X, tal que x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x2).

En la práctica, es más conveniente utilizar las siguientes formulaciones: la función crece si el mayor valor del argumento corresponde al mayor valor de la función; la función es decreciente si el valor mayor del argumento corresponde al valor menor de la función.

En los grados 7 y 8, usamos la siguiente interpretación geométrica de los conceptos de funciones crecientes o decrecientes: moviéndonos a lo largo del gráfico de una función creciente de izquierda a derecha, subimos la colina (Fig. 55); desplazándonos a lo largo de la gráfica de una función decreciente de izquierda a derecha, como si fuéramos cuesta abajo (Fig. 56).
Por lo general, los términos "función creciente", "función decreciente" están unidos por el nombre común de función monotónica, y el estudio de una función para aumentar o disminuir se denomina estudio de una función para monotonicidad.

Notamos una circunstancia más: si una función es creciente (o decreciente) en su dominio natural, generalmente se dice que la función es creciente (o decreciente), sin especificar el conjunto de números X.

Ejemplo 1

Examine la función de monotonicidad:

A) y \u003d x 3 + 2; b) y \u003d 5 - 2x.

Solución:

a) Tome valores arbitrarios del argumento x 1 y x 2 y sea x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

La última desigualdad significa que f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Entonces de x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), lo que significa que la función dada es decreciente (en toda la recta numérica).

Definición 3.

La función y - f(x) se llama acotada por abajo en el conjunto X con D (f) si todos los valores de la función en el conjunto X son mayores que un cierto número (en otras palabras, si hay un número m tal que para cualquier valor x є X la desigualdad f( x) >m).

Definición 4.

La función y \u003d f (x) se llama limitada desde arriba en el conjunto X con D (f) si todos los valores de la función son menores que un cierto número (en otras palabras, si hay un número M tal que para cualquier valor x є X la desigualdad f (x)< М).

Si no se especifica el conjunto X, se supone que la función está acotada por abajo o por arriba en todo el dominio de definición.

Si una función está acotada tanto por abajo como por arriba, entonces se llama acotada.

La delimitación de una función se lee fácilmente a partir de su gráfico: si la función está limitada desde abajo, entonces su gráfico está completamente ubicado sobre una línea horizontal y \u003d m (Fig. 57); si la función está limitada desde arriba, entonces su gráfico está completamente ubicado debajo de una línea horizontal y \u003d M (Fig. 58).

Ejemplo 2 Investigar una función por acotación
Solución. Por un lado, la desigualdad es bastante obvia (por definición raíz cuadrada Esto significa que la función está acotada desde abajo. Por otro lado, tenemos y por lo tanto
Esto significa que la función está acotada desde arriba. Ahora mire el gráfico de la función dada (Fig. 52 del párrafo anterior). La acotación de la función tanto desde arriba como desde abajo se lee con bastante facilidad en el gráfico.

Definición 5.

El número m se llama el valor más pequeño de la función y \u003d f (x) en el conjunto X C D (f), si:

1) en X existe tal punto x 0 que f(x 0) = m;

2) para todo x de X se cumple la desigualdad m>f(х 0).

Definición 6.

El número M se llama el valor más grande de la función y \u003d f (x) en el conjunto X C D (f), si:
1) en X existe tal punto x 0 que f(x 0) = M;
2) para todo x de X, la desigualdad
Denotamos el valor más pequeño de la función tanto en el 7.° como en el 8.° grado con el símbolo y, y el valor más grande con el símbolo y.

Si no se especifica el conjunto X, entonces se entiende que estamos hablando de encontrar el valor más pequeño o más grande de la función en todo el dominio de definición.

Las siguientes declaraciones útiles son bastante obvias:

1) Si una función tiene Y, entonces está acotada por abajo.
2) Si una función tiene Y, entonces está acotada por arriba.
3) Si la función no está acotada por debajo, entonces Y no existe.
4) Si la función no está acotada desde arriba, entonces Y no existe.

Ejemplo 3

Encuentra los valores más pequeños y más grandes de una función
Solución.

Es bastante obvio, sobre todo si recurres a la gráfica de la función (Fig. 52), que = 0 (la función alcanza este valor en los puntos x = -3 y x = 3), a = 3 (la función alcanza este valor en el punto x = 0.
En 7° y 8° grado, mencionamos dos propiedades más de las funciones. La primera se denominó propiedad de convexidad de una función. Se considera que una función es convexa hacia abajo en el intervalo X si, al conectar dos puntos cualesquiera de su gráfica (con abscisas desde X) con un segmento de línea recta, encontramos que la parte correspondiente de la gráfica se encuentra debajo del segmento dibujado ( Figura 59). continuidad Una función es convexa hacia arriba en el intervalo X si, al conectar dos puntos cualesquiera de su gráfica (con abscisas desde X) por un segmento de línea recta, encontramos que la parte correspondiente de la gráfica se encuentra sobre el segmento dibujado (Fig. 60 ).

La segunda propiedad, la continuidad de la función en el intervalo X, significa que la gráfica de la función en el intervalo X es continua, es decir no tiene pinchazos ni saltos.

Comentario.

De hecho, en matemáticas, todo es, como dicen, “exactamente lo contrario”: la gráfica de una función se representa como una línea continua (sin pinchazos ni saltos) solo cuando se demuestra la continuidad de la función. Pero la definición formal de la continuidad de una función, que es bastante compleja y sutil, está aún fuera de nuestro alcance. Lo mismo puede decirse de la convexidad de una función. Discutiendo estas dos propiedades de las funciones, continuaremos confiando en representaciones visual-intuitivas.

Ahora repasemos nuestro conocimiento. Recordando las funciones que estudiamos en los grados 7 y 8, aclararemos cómo se ven sus gráficos y enumeraremos las propiedades de la función, respetando un cierto orden, por ejemplo: dominio de definición; monótono; limitación; , ; continuidad; rango de valores; convexo.

Posteriormente, aparecerán nuevas propiedades de las funciones y la lista de propiedades cambiará en consecuencia.

1. Función constante y \u003d C

El gráfico de la función y \u003d C se muestra en la fig. 61 - línea recta, paralela al eje x. Esta es una función tan poco interesante que no tiene sentido enumerar sus propiedades.

El gráfico de la función y \u003d kx + m es una línea recta (Fig. 62, 63).

Propiedades de la función y \u003d kx + m:

1)
2) aumenta si k > 0 (Fig. 62), disminuye si k< 0 (рис. 63);

4) no hay ni el mayor ni el menor valor;
5) la función es continua;
6)
7) no tiene sentido hablar de convexidad.

El gráfico de la función y \u003d kx 2 es una parábola con un vértice en el origen y con ramas dirigidas hacia arriba si k\u003e O (Fig. 64), y hacia abajo si k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Propiedades de la función y - kx 2:

Para el caso k > 0 (Fig. 64):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = no existe;
5) continuo;
6) Å(f) = la función decrece, y en el intervalo , decrece en el rayo;
7) convexo hacia arriba.

El gráfico de la función y \u003d f (x) se construye punto por punto; cuantos más puntos de la forma (x; f(x)) tomemos, más precisa será la idea de la gráfica que obtendremos. Si tomamos muchos de estos puntos, entonces la idea del gráfico será más completa. Es en este caso que la intuición nos dice que la gráfica debe dibujarse como una línea continua (en este caso, como una parábola). Y luego, leyendo el gráfico, sacamos conclusiones sobre la continuidad de la función, sobre su convexidad hacia abajo o hacia arriba, sobre el rango de la función. Debe comprender que de las siete propiedades enumeradas, solo las propiedades 1), 2), 3), 4) son "legítimas" en el sentido de que podemos fundamentarlas, refiriéndose a definiciones precisas. Solo tenemos representaciones visual-intuitivas sobre las propiedades restantes. Por cierto, no hay nada de malo en eso. A partir de la historia del desarrollo de las matemáticas, se sabe que la humanidad a menudo y durante mucho tiempo utilizó varias propiedades de ciertos objetos, sin conocer las definiciones exactas. Luego, cuando se pudieron formular tales definiciones, todo encajó.

La gráfica de la función es una hipérbola, los ejes de coordenadas sirven como asíntotas de la hipérbola (Fig. 66, 67).

1) D(f) = (-00.0)1U (0.+oo);
2) si k > 0, entonces la función decrece en el rayo abierto (-oo, 0) y en el rayo abierto (0, +oo) (Fig. 66); si a< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) no está limitado ni desde abajo ni desde arriba;
4) no hay ni el valor más pequeño ni el más grande;
5) la función es continua en el rayo abierto (-oo, 0) y en el rayo abierto (0, +oo);
6) E(f) = (-oo, 0) U (0, + oo);
7) si k > 0, entonces la función es convexa hacia arriba en x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, es decir en el haz abierto (0, +oo) (Fig. 66). Si a< 0, то функция выпукла вверх при х >o y convexo hacia abajo en x< О (рис. 67).
La gráfica de la función es una rama de la parábola (Fig. 68). Propiedades de la función:
1) D(f) = , crece en el rayo )