Aceleración en un ángulo con el horizonte. ¡El movimiento de un cuerpo lanzado en ángulo hacia el horizonte! Aceleración de la gravedad

Teoría

Si un cuerpo se lanza en ángulo con respecto al horizonte, en vuelo se ve afectado por la gravedad y la resistencia del aire. Si se desprecia la fuerza de resistencia, entonces la única fuerza que queda es la fuerza de gravedad. Por lo tanto, debido a la segunda ley de Newton, el cuerpo se mueve con una aceleración igual a la aceleración de caída libre; Las proyecciones de aceleración en los ejes de coordenadas son una x = 0, y en= -g.

Cualquier movimiento complejo de un punto material se puede representar como una imposición de movimientos independientes a lo largo de los ejes de coordenadas, y en la dirección de diferentes ejes, el tipo de movimiento puede diferir. En nuestro caso, el movimiento de un cuerpo volador se puede representar como una superposición de dos movimientos independientes: movimiento uniforme a lo largo del eje horizontal (eje X) y movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical (eje Y) (Fig. 1) .

Por lo tanto, las proyecciones de velocidad del cuerpo cambian con el tiempo de la siguiente manera:

donde es la velocidad inicial, α es el ángulo de lanzamiento.

Por lo tanto, las coordenadas del cuerpo cambian así:

Con nuestra elección del origen de coordenadas, las coordenadas iniciales (Fig. 1) Entonces

El segundo valor del tiempo en el que la altura es igual a cero es igual a cero, que corresponde al momento del lanzamiento, es decir este valor también tiene un significado físico.

El rango de vuelo se obtiene de la primera fórmula (1). El rango de vuelo es el valor de la coordenada. X al final del vuelo, es decir en un momento igual a t0. Sustituyendo el valor (2) en la primera fórmula (1), obtenemos:

(3)

A partir de esta fórmula se puede ver que el mayor rango de vuelo se logra con un ángulo de lanzamiento de 45 grados.

La altura de elevación más alta del cuerpo lanzado se puede obtener de la segunda fórmula (1). Para ello, es necesario sustituir en esta fórmula el valor del tiempo igual a la mitad del tiempo de vuelo (2), porque es en el punto medio de la trayectoria que la altitud de vuelo es máxima. Realizando cálculos, obtenemos

Movimiento de un cuerpo lanzado en ángulo con el horizonte.

Fórmulas básicas para el movimiento curvilíneo

1 . Velocidad de movimiento del punto de material

$\vec V=\frac(d\vec r)(dt)$ ,

donde $\vec r$ es el radio vector del punto.

2 . Aceleración del punto material

$\vec a=\frac(d\vec V)(dt)=\frac(d^2\vec r)(dt^2)$,

$a=\raíz cuadrada(a^2_(\tau)+a^2_n)$ ,

donde $a_(\tau)$ es la aceleración tangencial, $a_n$ es la aceleración normal.

3 . Aceleración tangencial

$a_(\tau)=\frac(dV)(dt)=\frac(d^2s)(dt^2)$

4 . Aceleración normal

$a_n=\frac(V^2)(R)$ ,

donde $R$ es el radio de curvatura de la trayectoria.

5 . para movimiento uniforme

$S=V_0t+\frac(en^2)(2)$

$V=V_0+en$

Expresando $t$ a partir de la segunda igualdad y sustituyendo en la primera, obtenemos una fórmula útil

$2aS=V^2-V_0^2$

Ejemplos de resolución de problemas

En problemas sobre el movimiento de un cuerpo en un campo de gravedad, supondremos $a=g=9.8$ m/s 2 .

Tarea 1.

El proyectil sale volando del arma con una velocidad inicial de 490 m/s en un ángulo de 30 0 con el horizonte. Encuentre la altura, el alcance y el tiempo de vuelo del proyectil, sin tener en cuenta su rotación y la resistencia del aire.

La solución del problema

Encuentra: $h, S, t$

$V_0=490$ m/s

$\alfa=30^0$

Asocia ISO con el arma.

Las componentes de la velocidad sobre los ejes Ox y Oy en el momento inicial son iguales a:

$V_(0x)=V_0\cos\alpha$ - permanece sin cambios durante todo el vuelo del proyectil,

$V_(0y)=V_0\sin\alpha$ - cambia según la ecuación de movimiento uniforme

$V_y=V_0\sin\alpha-gt$ .

En el punto más alto de subida $V_y=V_0\sin\alpha-gt_1=0$ , de donde

$t_1=\frac(V_0\sin\alpha)(g)$

Tiempo total de vuelo del proyectil

$t=2t_1=\frac(2V_0\sin\alpha)(g)=50$ C.

Determinamos la altura del proyectil a partir de la fórmula de la trayectoria es igual a cámara lenta

$h=V_(0y)t_1-\frac(gt_1^2)(2)=\frac(V_0^2\sin^2\alpha)(2g)=3060$ metro.

El rango de vuelo se define como

$S=V_(0x)t=\frac(V_0^2\sin(2\alpha))(g)=21000$ metro.

Tarea 2.

Un cuerpo cae libremente desde el punto A. Al mismo tiempo, otro cuerpo es lanzado desde el punto B con un ángulo $\alpha$ hacia el horizonte de manera que ambos cuerpos chocan en el aire. Demuestre que el ángulo $\alpha$ no depende de la velocidad inicial $V_0$ del cuerpo lanzado desde el punto B, y determine este ángulo si $\frac(H)(S)=\sqrt3$ . Ignore la resistencia del aire.

La solución del problema.

Encuentra: $\alfa$

Dado: $\frac(H)(S)=\sqrt3$

Asociar ISO con el punto B.

Ambos cuerpos pueden encontrarse sobre la línea OA (ver figura) en el punto C. Descompongamos la velocidad $V_0$ del cuerpo lanzado desde el punto B en componentes horizontal y vertical:

$V_(0x)=V_0\cos\alfa$ ; $V_(0y)=V_0\sin\alfa$ .

Deja pasar el tiempo desde el inicio del movimiento hasta el momento del encuentro.

$t=\frac(S)(V_(0x))=\frac(S)(V_0\cos\alpha)$.

Durante este tiempo, el cuerpo del punto A desciende por el valor

$H-h=\frac(gt^2)(2)$ ,

y el cuerpo del punto B subirá a una altura

$h=V_(0y)t-\frac(gt^2)(2)=V_0\sin\alpha(t)-\frac(gt^2)(2)$.

Resolviendo las dos últimas ecuaciones juntas, encontramos

$H=V_0\sin\alpha(t)$ .

Sustituyendo aquí el tiempo encontrado anteriormente, obtenemos

$\tan\alpha=\frac(H)(S)=\sqrt3$,

aquellos. el ángulo de lanzamiento no depende de la velocidad inicial.

$\alfa=60^0$

Tarea 3.

Un cuerpo es lanzado desde una torre en dirección horizontal con una velocidad de 40 m/s. ¿Cuál es la velocidad del cuerpo 3 segundos después del inicio del movimiento? ¿Qué ángulo forma el vector velocidad del cuerpo con el horizonte en este momento?

La solución del problema.

Encuentra: $\alfa$

Dado: $V_0=40$ m/s. $t=3$ c.

Asociar el ISO con la torre.

El cuerpo participa simultáneamente en dos movimientos: uniformemente en dirección horizontal con una velocidad $V_0$ y en caída libre con una velocidad $V_y=gt$ . Entonces la velocidad total del cuerpo es

$V=\sqrt(V_0^2+g^2t^2)=50 m/s.$

La dirección del vector de velocidad está determinada por el ángulo $\alpha$ . De la figura vemos que

$\cos\alpha=\frac(V_0)(V)=\frac(V_0)(\sqrt(V_0^2+g^2t^2))=0.8$

$\alfa=37^0$

Tarea 4.

Dos cuerpos son lanzados verticalmente hacia arriba desde un punto uno tras otro con un intervalo de tiempo igual a $\Delta(t)$ , con las mismas velocidades $V_0$ . ¿Cuánto tiempo $t$ después de lanzar el primer cuerpo se encontrarán?

La solución del problema.

Encontrar t\)

Dado: $V_0$ , $\Delta(t)$

Del análisis de la condición del problema, es claro que el primer cuerpo subirá a la altura máxima y se encontrará con el segundo cuerpo en el descenso. Escribamos las leyes del movimiento de los cuerpos:

$h_1=V_0t-\frac(gt^2)(2)$

$h_2=V_0(t-\Delta(t))-\frac(g(t-\Delta(t))^2)(2)$.

En el momento de la reunión $h_1=h_2$ , de la que inmediatamente obtenemos

$t=\frac(V_0)(g)+\frac(\Delta(t))(2)$

Actualizado:

Usando varios ejemplos (que inicialmente resolví, como de costumbre, en otvet.mail.ru), consideraremos una clase de problemas de balística elemental: el vuelo de un cuerpo lanzado en ángulo hacia el horizonte con una cierta velocidad inicial, sin teniendo en cuenta la resistencia del aire y la curvatura superficie de la Tierra(es decir, se supone que la dirección del vector de aceleración de caída libre g no cambia).

Tarea 1. El rango de vuelo del cuerpo es igual a la altura de su vuelo sobre la superficie de la Tierra. ¿A qué ángulo se lanza el cuerpo? (en algunas fuentes, por alguna razón, se da una respuesta incorrecta: 63 grados).

Denotemos el tiempo de vuelo como 2*t (luego durante t el cuerpo sube, y durante el siguiente intervalo t desciende). Sea V1 la componente horizontal de la velocidad y V2 la componente vertical. Entonces el rango de vuelo S = V1*2*t. Altitud de vuelo H \u003d g * t * t / 2 \u003d V2 * t / 2. Equiparar
S=H
V1*2*t = V2*t/2
V2/V1 = 4
La relación entre las velocidades vertical y horizontal es la tangente del ángulo requerido α, de donde α = arctan(4) = 76 grados.

Tarea 2. Un cuerpo es lanzado desde la superficie de la Tierra con una velocidad V0 y un ángulo α con respecto al horizonte. Encuentre el radio de curvatura de la trayectoria del cuerpo: a) al comienzo del movimiento; b) en la parte superior de la trayectoria.

En ambos casos, la fuente del movimiento curvilíneo es la gravedad, es decir, la aceleración de caída libre g, dirigida verticalmente hacia abajo. Todo lo que se requiere aquí es encontrar la proyección g, perpendicular a la velocidad actual V, e igualarla a la aceleración centrípeta V^2/R, donde R es el radio de curvatura deseado.

Como se puede ver en la figura, para iniciar el movimiento, podemos escribir
gn = g*cos(a) = V0^2/R
de donde el radio deseado R = V0^2/(g*cos(a))

Para el punto superior de la trayectoria (ver figura) tenemos
g = (V0*cos(a))^2/R
de donde R = (V0*cos(a))^2/g

Tarea 3. (variación sobre un tema) El proyectil se movió horizontalmente a una altura h y explotó en dos fragmentos idénticos, uno de los cuales cayó al suelo en el tiempo t1 después de la explosión. ¿Cuánto tiempo después de que caiga la primera pieza caerá la segunda?

Cualquiera que sea la velocidad vertical V que adquiera el primer fragmento, el segundo adquirirá la misma velocidad vertical en valor absoluto, pero dirigida en la dirección opuesta (esto se deriva de la masa idéntica de los fragmentos y la conservación del momento). Además, V está dirigido hacia abajo, porque de lo contrario el segundo fragmento llegará al suelo ANTES que el primero.

h = V*t1+g*t1^2/2
V = (hg*t1^2/2)/t1
El segundo volará hacia arriba, perderá velocidad vertical después del tiempo V/g, y luego, después del mismo tiempo, volará hacia abajo a la altura inicial h, y el tiempo t2 de su retraso en relación con el primer fragmento (no el tiempo de vuelo desde el momento de la explosión) será
t2 = 2*(V/g) = 2h/(g*t1)-t1

actualizado el 2018-06-03

Cita:
Se lanza una piedra con una velocidad de 10 m/s en un ángulo de 60° con la horizontal. Determine la aceleración tangencial y normal del cuerpo después de 1,0 s después del inicio del movimiento, el radio de curvatura de la trayectoria en este punto en el tiempo, la duración y el alcance del vuelo. ¿Qué ángulo forma el vector de aceleración total con el vector de velocidad en t = 1.0 s?

La velocidad horizontal inicial Vg = V*cos(60°) = 10*0.5 = 5 m/s, y no cambia durante todo el vuelo. Velocidad vertical inicial Vâ = V*sen(60°) = 8,66 m/s. El tiempo de vuelo hasta el punto más alto es t1 = Vv/g = 8,66/9,8 = 0,884 s, lo que significa que la duración de todo el vuelo es 2*t1 = 1,767 s. Durante este tiempo, el cuerpo volará horizontalmente Vg * 2 * t1 = 8,84 m (rango de vuelo).

Después de 1 segundo, la velocidad vertical será 8,66 - 9,8*1 = -1,14 m/s (hacia abajo). Esto significa que el ángulo de la velocidad con el horizonte será arctan(1,14/5) = 12,8° (hacia abajo). Dado que la aceleración total aquí es única y no cambia (esta es la aceleración de caída libre gramo apuntando verticalmente hacia abajo), entonces el ángulo entre la velocidad del cuerpo y gramo en este momento será 90-12,8 = 77,2°.

La aceleración tangencial es una proyección gramo a la dirección del vector velocidad, lo que significa que es g*sen(12.8) = 2.2 m/s2. La aceleración normal es una proyección perpendicular al vector velocidad. gramo, es igual a g*cos(12,8) = 9,56 m/s2. Y dado que este último está relacionado con la velocidad y el radio de curvatura por la expresión V^2/R, tenemos 9,56 = (5*5 + 1,14*1,14)/R, de donde el radio requerido R = 2,75 m.

Deja que el cuerpo sea lanzado en un ángulo. α al horizonte a una velocidad $~\vec \upsilon_0$. Como en los casos anteriores, despreciaremos la resistencia del aire. Para describir el movimiento, es necesario elegir dos ejes de coordenadas: Buey Y Oye(Figura 1). El origen es compatible con la posición inicial del cuerpo. Proyecciones de la velocidad inicial sobre el eje Oye Y Buey\[~\upsilon_(0y) = \upsilon_0 \sin \alpha; \ \upsilon_(0x) = \upsilon_0 \cos \alpha\]. Proyecciones de aceleración: gramo x = 0; gramo y=- gramo.

Entonces el movimiento del cuerpo será descrito por las ecuaciones:

$~x = \upsilon_0 \cos \alpha t; \qquad (1)$ $~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha; \qquad (2)$ $~y = \upsilon_0 \sin \ alfa t - \frac(gt^2)(2); \qquad (3)$ $~\upsilon_y = \upsilon_0 \sin \alpha - gt. \qquad (4)$

De estas fórmulas se deduce que en la dirección horizontal el cuerpo se mueve uniformemente con una velocidad $~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha$, y en la dirección vertical - uniformemente acelerada.

La trayectoria del cuerpo será una parábola. Considerando que en la parte superior de la parábola υ y = 0, puedes encontrar el tiempo t 1 elevación del cuerpo a la parte superior de la parábola:

$~0 = \upsilon_0 \sin \alpha - gt_1 \Rightarrow t_1 = \frac(\upsilon_0 \sin \alpha)(g). \qquad (5)$

Sustituyendo el valor t 1 en la ecuación (3), encontramos la altura máxima del cuerpo:

$~h_(max) = y_1 = \upsilon_0 \sin \alpha frac(\upsilon_0 \sin \alpha)(g) - \frac(g)(2) \frac(\upsilon^2_0 \sin^2 \ alpha)(g^2),$ $~h_(max) = \frac(\upsilon^2_0 \sin^2 \alpha)(2g)$ - altura máxima del cuerpo.

El tiempo de vuelo del cuerpo se encuentra a partir de la condición de que en t = t 2 coordenadas y 2 = 0. Por lo tanto, $~\upsilon_0 \sin \alpha t_2 - \frac(gt^2_2)(2) = 0$. Por lo tanto, $~t_1 = \frac(2 \upsilon_0 \sin \alpha)(g)$ es el tiempo de vuelo del cuerpo. Comparando esta fórmula con la fórmula (5), vemos que t 2 = 2 t 1 . Tiempo de movimiento del cuerpo desde la altura máxima t 3 = t 2 - t 1 = 2t 1 - t 1 = t 1 . Por lo tanto, cuanto tiempo sube el cuerpo a la altura máxima, cuanto tiempo cae desde esta altura. Sustituyendo las coordenadas en la ecuación X(1) valor de tiempo t 2, encontramos:

$~l = \frac(2 \upsilon_0 \cos \alpha \upsilon_0 \sin \alpha)(g) = \frac(\upsilon^2_0 \sin 2\alpha)(g)$ - distancia de vuelo del cuerpo.

La velocidad instantánea en cualquier punto de la trayectoria se dirige tangencialmente a la trayectoria (ver Fig. 1). el módulo de velocidad está determinado por la fórmula

$~\upsilon = \sqrt(\upsilon^2_x + \upsilon^2_y) = \sqrt(\upsilon^2_0 \cos^2 \alpha + (\upsilon_0 \sin \alpha - gt^2)) = \sqrt (\upsilon^2_0 - 2 \upsilon_0 gt \sin \alpha + g^2t^2) .$

Así, el movimiento de un cuerpo lanzado formando un ángulo con el horizonte o en dirección horizontal puede considerarse como el resultado de dos movimientos independientes - horizontal uniforme y vertical uniformemente acelerado (caída libre sin velocidad inicial o movimiento de un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba ).

Literatura

Aksenovich L. A. Física en la escuela secundaria: Teoría. Tareas. Pruebas: Proc. Subsidio para instituciones que prestan servicios generales. ambientes, educación / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; ed. K. S. Fariño. - Mn.: Adukatsy i vykhavanne, 2004. - S. 16-17.

Si un cuerpo se lanza en ángulo con respecto al horizonte, en vuelo se ve afectado por la gravedad y la resistencia del aire. Si se desprecia la fuerza de resistencia, entonces la única fuerza que queda es la fuerza de gravedad. Por tanto, debido a la 2ª ley de Newton, el cuerpo se mueve con una aceleración igual a la aceleración de caída libre; proyecciones de aceleración en los ejes de coordenadas ax = 0, ay = - g.

Figura 1. Características cinemáticas de un cuerpo lanzado en ángulo con el horizonte

Por lo tanto, las proyecciones de velocidad del cuerpo cambian con el tiempo de la siguiente manera:

donde $v_0$ es la velocidad inicial, $(\mathbf \alpha )$ es el ángulo de lanzamiento.

Con nuestra elección de origen, las coordenadas iniciales (Fig. 1) son $x_0=y_0=0$. Entonces obtenemos:

(1)

Analicemos las fórmulas (1). Determinemos el tiempo de movimiento del cuerpo lanzado. Para hacer esto, igualamos la coordenada y a cero, porque en el momento del aterrizaje, la altura del cuerpo es cero. De aquí obtenemos el tiempo de vuelo:

El segundo valor del tiempo en el que la altura es igual a cero es igual a cero, que corresponde al momento del lanzamiento, es decir este valor también tiene un significado físico.

El rango de vuelo se obtiene de la primera fórmula (1). El rango de vuelo es el valor de la coordenada x al final del vuelo, es decir en el momento de tiempo igual a $t_0$. Sustituyendo el valor (2) en la primera fórmula (1), obtenemos:

A partir de esta fórmula se puede ver que el mayor rango de vuelo se logra con un ángulo de lanzamiento de 45 grados.

A partir de las ecuaciones (1) se puede obtener la ecuación de la trayectoria del cuerpo, es decir una ecuación que relaciona las coordenadas x e y de un cuerpo durante el movimiento. Para hacer esto, necesitas expresar el tiempo de la primera ecuación (1):

y sustituirlo en la segunda ecuación. Entonces obtenemos:

Esta ecuación es la ecuación de trayectoria. Se puede ver que esta es la ecuación de una parábola con ramas hacia abajo, como lo indica el signo “-” delante del término cuadrático. Debe tenerse en cuenta que el ángulo de lanzamiento $\alpha $ y sus funciones son solo constantes aquí, es decir números constantes.

Se lanza un cuerpo con velocidad v0 con un ángulo $(\mathbf \alpha )$ con respecto al horizonte. Tiempo de vuelo $t = 2 s$. ¿A qué altura Hmax se elevará el cuerpo?

$$t_B = 2 s$$ $$H_máx - ?$$

La ley del movimiento del cuerpo es:

$$\left\( \begin(matriz)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(matriz) \right.$ ps

El vector de velocidad inicial forma un ángulo $(\mathbf \alpha )$ con el eje OX. Por eso,

\ \ \

Se lanza una piedra desde la cima de una montaña con un ángulo = 30$()^\circ$ hacia el horizonte con una velocidad inicial de $v_0 = 6 m/s$. Ángulo del plano inclinado = 30$()^\circ$. ¿A qué distancia del punto de lanzamiento caerá la piedra?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

Coloquemos el origen de coordenadas en el punto de lanzamiento, OX - a lo largo del plano inclinado hacia abajo, OY - perpendicular al plano inclinado hacia arriba. Características cinemáticas del movimiento:

Ley del movimiento:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sen \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sen 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(matriz) \right.$$ \

Sustituyendo el valor resultante de $t_B$, encontramos $S$: