Paātrinājums leņķī pret horizontu. Leņķī pret horizontu izmesta ķermeņa kustība! Gravitācijas paātrinājums

Teorija

Ja ķermenis tiek izmests leņķī pret horizontu, tad lidojumā to ietekmē gravitācija un gaisa pretestība. Ja pretestības spēks ir atstāts novārtā, tad vienīgais spēks, kas palicis, ir gravitācijas spēks. Tāpēc Ņūtona 2. likuma dēļ ķermenis kustas ar paātrinājumu, kas vienāds ar brīvā kritiena paātrinājumu; paātrinājuma projekcijas uz koordinātu asīm ir a x = 0, un plkst= -g.

Jebkura materiāla punkta sarežģīta kustība var tikt attēlota kā neatkarīgu kustību uzlikšana pa koordinātu asīm, un dažādu asu virzienā kustības veids var atšķirties. Mūsu gadījumā lidojoša ķermeņa kustību var attēlot kā divu neatkarīgu kustību superpozīciju: vienmērīga kustība pa horizontālo asi (X-ass) un vienmērīgi paātrināta kustība pa vertikālo asi (Y-ass) (1.att.) .

Tāpēc ķermeņa ātruma projekcijas laika gaitā mainās šādi:

kur sākotnējais ātrums, α ir mešanas leņķis.

Tāpēc ķermeņa koordinātas mainās šādi:

Ar mūsu izvēlēto koordinātu sākumpunktu sākotnējās koordinātas (1. att.) Tad

Otrā laika vērtība, kurā augstums ir vienāds ar nulli, ir vienāda ar nulli, kas atbilst metiena brīdim, t.i. šai vērtībai ir arī fiziska nozīme.

Lidojuma diapazonu iegūst no pirmās formulas (1). Lidojuma diapazons ir koordinātas vērtība X lidojuma beigās, t.i. brīdī, kas vienāds ar t0. Aizvietojot vērtību (2) pirmajā formulā (1), mēs iegūstam:

(3)

No šīs formulas var redzēt, ka vislielākais lidojuma diapazons tiek sasniegts 45 grādu metiena leņķī.

Izmestā ķermeņa augstāko pacelšanas augstumu var iegūt pēc otrās formulas (1). Lai to izdarītu, šajā formulā ir jāaizstāj laika vērtība, kas vienāda ar pusi no lidojuma laika (2), jo tieši trajektorijas viduspunktā lidojuma augstums ir maksimālais. Veicot aprēķinus, mēs iegūstam

Leņķī pret horizontu izmesta ķermeņa kustība

Līklīnijas kustības pamatformulas

1 . Materiāla punkta kustības ātrums

$\vec V=\frac(d\vec r)(dt)$ ,

kur $\vec r$ ir punkta rādiusa vektors.

2 . Materiāla punkta paātrinājums

$\vec a=\frac(d\vec V)(dt)=\frac(d^2\vec r)(dt^2)$,

$a=\sqrt(a^2_(\tau)+a^2_n)$ ,

kur $a_(\tau)$ ir tangenciālais paātrinājums, $a_n$ ir normāls paātrinājums.

3 . Tangenciālais paātrinājums

$a_(\tau)=\frac(dV)(dt)=\frac(d^2s)(dt^2)$

4 . Normāls paātrinājums

$a_n=\frac(V^2)(R)$ ,

kur $R$ ir trajektorijas izliekuma rādiuss.

5 . vienmērīgai kustībai

$S=V_0t+\frac(at^2)(2)$

$V=V_0+at$

Izsakot $t$ no otrās vienādības un aizvietojot ar pirmo, mēs iegūstam noderīgu formulu

$2aS=V^2-V_0^2$

Problēmu risināšanas piemēri

Problēmās par ķermeņa kustību gravitācijas laukā pieņemsim $a=g=9,8$ m/s 2 .

1. uzdevums.

Lādiņš izlido no pistoles ar sākotnējo ātrumu 490 m/s 30 0 leņķī pret horizontu. Atrodiet šāviņa augstumu, diapazonu un lidojuma laiku, neņemot vērā tā rotāciju un gaisa pretestību.

Problēmas risinājums

Atrast: $h, S, t$

$V_0=490$ m/s

$\alpha=30^0$

Saistiet ISO ar pistoli.

Ātruma komponentes pa asīm Ox un Oy sākotnējā laika momentā ir vienādas ar:

$V_(0x)=V_0\cos\alpha$ - paliek nemainīgs visa šāviņa lidojuma laikā,

$V_(0y)=V_0\sin\alpha$ — izmaiņas atbilstoši vienmērīgas kustības vienādojumam

$V_y=V_0\sin\alpha-gt$ .

Augstākajā kāpuma punktā $V_y=V_0\sin\alpha-gt_1=0$ , no kurienes

$t_1=\frac(V_0\sin\alpha)(g)$

Kopējais šāviņa lidojuma laiks

$t=2t_1=\frac(2V_0\sin\alpha)(g)=50$ c.

Mēs nosakām šāviņa augstumu pēc formulas, kurā ceļš ir vienāds ar lēnu kustību

$h=V_(0y)t_1-\frac(gt_1^2)(2)=\frac(V_0^2\sin^2\alpha)(2g)=3060$ m.

Lidojuma diapazons ir definēts kā

$S=V_(0x)t=\frac(V_0^2\sin(2\alpha))(g)=21000$ m.

2. uzdevums.

Ķermenis brīvi krīt no punkta A. Tajā pašā laikā cits ķermenis tiek izmests no punkta B leņķī $\alpha$ pret horizontu tā, ka abi ķermeņi saskaras gaisā. Parādiet, ka leņķis $\alpha$ nav atkarīgs no no punkta B izmestā ķermeņa sākuma ātruma $V_0$, un nosakiet šo leņķi, ja $\frac(H)(S)=\sqrt3$ . Ignorēt gaisa pretestību.

Problēmas risinājums.

Atrast: $\alpha$

Dots: $\frac(H)(S)=\sqrt3$

Saistiet ISO ar punktu B.

Abi ķermeņi var satikties uz līnijas OA (skat. attēlu) punktā C. Sadalīsim no punkta B izmestā ķermeņa ātrumu $V_0$ horizontālās un vertikālās komponentēs:

$V_(0x)=V_0\cos\alpha$ ; $V_(0y)=V_0\sin\alpha$ .

Ļaujiet laikam paiet no kustības sākuma līdz tikšanās brīdim

$t=\frac(S)(V_(0x))=\frac(S)(V_0\cos\alpha)$.

Šajā laikā ķermenis no punkta A nolaižas par vērtību

$H-h=\frac(gt^2)(2)$ ,

un ķermenis no punkta B pacelsies augstumā

$h=V_(0y)t-\frac(gt^2)(2)=V_0\sin\alpha(t)-\frac(gt^2)(2)$.

Atrisinot pēdējos divus vienādojumus kopā, mēs atrodam

$H=V_0\sin\alpha(t)$ .

Aizvietojot šeit iepriekš atrasto laiku, mēs iegūstam

$\tan\alpha=\frac(H)(S)=\sqrt3$,

tie. metiena leņķis nav atkarīgs no sākuma ātruma.

$\alpha=60^0$

3. uzdevums.

No torņa horizontālā virzienā tiek izmests ķermenis ar ātrumu 40 m/s. Kāds ir ķermeņa ātrums 3 sekundes pēc kustības sākuma? Kādu leņķi ķermeņa ātruma vektors veido ar horizontu šajā brīdī?

Problēmas risinājums.

Atrast: $\alpha$

Dots: $V_0=40$ m/s. $t=3$ c.

Saistiet ISO ar torni.

Ķermenis vienlaikus piedalās divās kustībās: vienmērīgi horizontālā virzienā ar ātrumu $V_0$ un brīvajā kritienā ar ātrumu $V_y=gt$ . Tad kopējais ķermeņa ātrums ir

$V=\sqrt(V_0^2+g^2t^2)=50 m/s.$

Ātruma vektora virzienu nosaka leņķis $\alpha$ . No attēla mēs to redzam

$\cos\alpha=\frac(V_0)(V)=\frac(V_0)(\sqrt(V_0^2+g^2t^2))=0,8$

$\alpha=37^0$

4. uzdevums.

Divi ķermeņi tiek izmesti vertikāli uz augšu no viena punkta viens pēc otra ar laika intervālu, kas vienāds ar $\Delta(t)$ , ar vienādiem ātrumiem $V_0$ . Cik ilgi $t$ pēc pirmā ķermeņa mešanas viņi satiksies?

Problēmas risinājums.

Atrast: $t$

Dots: $V_0$ , $\Delta(t)$

No problēmas stāvokļa analīzes ir skaidrs, ka pirmais ķermenis pacelsies līdz maksimālajam augstumam un tiksies ar otro ķermeni nolaižoties. Pierakstīsim ķermeņu kustības likumus:

$h_1=V_0t-\frac(gt^2)(2)$

$h_2=V_0(t-\Delta(t))-\frac(g(t-\Delta(t))^2)(2)$.

Sapulces brīdī $h_1=h_2$ , no kuras mēs uzreiz saņemam

$t=\frac(V_0)(g)+\frac(\Delta(t))(2)$

Atjaunināts:

Izmantojot vairākus piemērus (kurus es sākotnēji, kā parasti, atrisināju vietnē otvet.mail.ru), apskatīsim elementārās ballistikas problēmu klasi: ķermeņa lidojums, kas palaists leņķī pret horizontu ar noteiktu sākotnējo ātrumu, bez ņemot vērā gaisa pretestību un izliekumu zemes virsma(tas ir, tiek pieņemts, ka brīvā kritiena paātrinājuma vektora g virziens nemainās).

1. uzdevums.Ķermeņa lidojuma diapazons ir vienāds ar tā lidojuma augstumu virs Zemes virsmas. Kādā leņķī tiek mests ķermenis? (dažos avotos nez kāpēc tiek sniegta nepareiza atbilde - 63 grādi).

Lidojuma laiku apzīmēsim kā 2*t (tad laikā t ķermenis paceļas, bet nākamajā intervālā t nolaižas). Lai ātruma horizontālā komponente ir V1 un vertikālā komponente V2. Tad lidojuma diapazons S = V1*2*t. Lidojuma augstums H \u003d g * t * t / 2 \u003d V2 * t / 2. Pielīdzināt
S=H
V1*2*t = V2*t/2
V2/V1 = 4
Vertikālā un horizontālā ātruma attiecība ir vajadzīgā leņķa α tangensa, kur α = arctan(4) = 76 grādi.

2. uzdevums.Ķermenis tiek izmests no Zemes virsmas ar ātrumu V0 leņķī α pret horizontu. Atrast ķermeņa trajektorijas izliekuma rādiusu: a) kustības sākumā; b) trajektorijas augšpusē.

Abos gadījumos līknes kustības avots ir gravitācija, tas ir, brīvā kritiena paātrinājums g, kas vērsts vertikāli uz leju. Viss, kas šeit ir nepieciešams, ir atrast projekciju g, kas ir perpendikulāra strāvas ātrumam V, un pielīdzināt to centripetālajam paātrinājumam V^2/R, kur R ir vēlamais izliekuma rādiuss.

Kā redzams no attēla, lai sāktu kustību, mēs varam rakstīt
gn = g*cos(a) = V0^2/R
no kurienes vēlamais rādiuss R = V0^2/(g*cos(a))

Trajektorijas augšējam punktam (sk. attēlu) mums ir
g = (V0*cos(a))^2/R
kur R = (V0*cos(a))^2/g

3. uzdevums. (variācijas par tēmu) Lādiņš pārvietojās horizontāli augstumā h un eksplodēja divās identiskās lauskas, no kurām viena nokrita zemē laikā t1 pēc sprādziena. Cik ilgi pēc pirmā gabala nokrišanas nokritīs otrais?

Neatkarīgi no tā, kādu vertikālo ātrumu V iegūs pirmais fragments, otrais iegūs tādu pašu vertikālo ātrumu absolūtā vērtībā, bet vērsts pretējā virzienā (tas izriet no identiskas fragmentu masas un impulsa saglabāšanas). Turklāt V ir vērsts uz leju, jo pretējā gadījumā otrais fragments nonāks zemē PIRMS pirmā.

h = V*t1+g*t1^2/2
V = (h-g*t1^2/2)/t1
Otrais lidos uz augšu, zaudēs vertikālo ātrumu pēc laika V/g, un pēc tā paša laika nolidos līdz sākuma augstumam h, un tā kavēšanās laikam t2 attiecībā pret pirmo fragmentu (nevis lidojuma laiku no plkst. sprādziena brīdis) būs
t2 = 2*(V/g) = 2h/(g*t1)-t1

atjaunināts 2018-06-03

Citāts:
Akmens tiek mests ar ātrumu 10 m/s 60° leņķī pret horizontāli. Nosaka ķermeņa tangenciālo un normālo paātrinājumu pēc 1,0 s pēc kustības sākuma, trajektorijas izliekuma rādiusu šajā laika brīdī, lidojuma ilgumu un diapazonu. Kādu leņķi kopējais paātrinājuma vektors veido ar ātruma vektoru pie t = 1,0 s

Sākotnējais horizontālais ātrums Vg = V*cos(60°) = 10*0,5 = 5 m/s, un tas nemainās visa lidojuma laikā. Sākotnējais vertikālais ātrums Vв = V*sin(60°) = 8,66 m/s. Lidojuma laiks līdz augstākajam punktam ir t1 = Vv/g = 8,66/9,8 = 0,884 sek, kas nozīmē, ka visa lidojuma ilgums ir 2*t1 = 1,767 sek. Šajā laikā ķermenis lidos horizontāli Vg * 2 * t1 = 8,84 m (lidojuma diapazons).

Pēc 1 sekundes vertikālais ātrums būs 8,66 - 9,8*1 = -1,14 m/s (uz leju). Tas nozīmē, ka ātruma leņķis pret horizontu būs arktāns (1,14/5) = 12,8° (uz leju). Tā kā kopējais paātrinājums šeit ir unikāls un nemainīgs (tas ir brīvā kritiena paātrinājums g vērsts vertikāli uz leju), tad leņķis starp ķermeņa ātrumu un gšajā brīdī būs 90-12,8 = 77,2°.

Tangenciālais paātrinājums ir projekcija g uz ātruma vektora virzienu, kas nozīmē, ka tas ir g*sin(12.8) = 2.2 m/s2. Normāls paātrinājums ir projekcija, kas ir perpendikulāra ātruma vektoram g, tas ir vienāds ar g*cos(12,8) = 9,56 m/s2. Un tā kā pēdējais ir saistīts ar ātrumu un izliekuma rādiusu ar izteiksmi V^2/R, mums ir 9,56 = (5*5 + 1,14*1,14)/R, no kurienes nepieciešamais rādiuss R = 2,75 m.

Ļaujiet ķermenim mest leņķī α uz horizontu ar ātrumu $~\vec \upsilon_0$. Tāpat kā iepriekšējos gadījumos, mēs ignorēsim gaisa pretestību. Lai aprakstītu kustību, ir jāizvēlas divas koordinātu asis - Vērsis Un Oy(1. att.). Izcelsme ir saderīga ar ķermeņa sākotnējo stāvokli. Sākotnējā ātruma projekcijas uz asi Oy Un Vērsis\[~\upsilon_(0y) = \upsilon_0 \sin \alpha; \ \upsilon_(0x) = \upsilon_0 \cos \alpha\]. Paātrinājuma prognozes: g x = 0; g y=- g.

Tad ķermeņa kustību apraksta ar vienādojumiem:

$~x = \upsilon_0 \cos \alpha t; \qquad (1)$ $~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha; \qquad (2)$ $~y = \upsilon_0 \sin \ alfa t — \frac(gt^2)(2); \qquad (3)$ $~\upsilon_y = \upsilon_0 \sin \alpha - gt. \qquad (4)$

No šīm formulām izriet, ka horizontālā virzienā ķermenis pārvietojas vienmērīgi ar ātrumu $~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha$, bet vertikālā virzienā - vienmērīgi paātrināti.

Ķermeņa trajektorija būs parabola. Ņemot vērā, ka parabolas augšpusē υ y = 0, jūs varat atrast laiku t 1 ķermeņa pacelšana līdz parabolas augšdaļai:

$~0 = \upsilon_0 \sin \alpha - gt_1 \Rightarrow t_1 = \frac(\upsilon_0 \sin \alpha)(g). \qquad (5)$

Vērtības aizstāšana t 1 vienādojumā (3), mēs atrodam maksimālo ķermeņa augstumu:

$~h_(max) = y_1 = \upsilon_0 \sin \alpha \frac(\upsilon_0 \sin \alpha)(g) - \frac(g)(2) \frac(\upsilon^2_0 \sin^2 \ alfa)(g^2),$ $~h_(max) = \frac(\upsilon^2_0 \sin^2 \alpha)(2g)$ — maksimālais ķermeņa augstums.

Ķermeņa lidojuma laiks tiek atrasts no nosacījuma, ka plkst t = t 2 koordinātas y 2 = 0. Tāpēc $~\upsilon_0 \sin \alpha t_2 - \frac(gt^2_2)(2) = 0$. Tādējādi $~t_1 = \frac(2 \upsilon_0 \sin \alpha)(g)$ ir ķermeņa lidojuma laiks. Salīdzinot šo formulu ar formulu (5), mēs to redzam t 2 = 2 t 1 . Ķermeņa kustības laiks no maksimālā augstuma t 3 = t 2 - t 1 = 2t 1 - t 1 = t 1 . Līdz ar to, cik ilgi ķermenis paceļas līdz maksimālajam augstumam, cik daudz laika nokrīt no šī augstuma. Koordinātu aizstāšana vienādojumā x(1) laika vērtība t 2, mēs atrodam:

$~l = \frac(2 \upsilon_0 \cos \alpha \upsilon_0 \sin \alpha)(g) = \frac(\upsilon^2_0 \sin 2\alpha)(g)$ — ķermeņa lidojuma attālums.

Momentānais ātrums jebkurā trajektorijas punktā ir vērsts tangenciāli trajektorijai (sk. 1. att.). ātruma moduli nosaka pēc formulas

$~\upsilon = \sqrt(\upsilon^2_x + \upsilon^2_y) = \sqrt(\upsilon^2_0 \cos^2 \alpha + (\upsilon_0 \sin \alpha - gt^2)) = \sqrt (\upsilon^2_0 - 2 \upsilon_0 gt \sin \alpha + g^2t^2) .$

Tādējādi leņķī pret horizontu vai horizontālā virzienā mesta ķermeņa kustību var uzskatīt par divu neatkarīgu kustību rezultātu - horizontāli vienmērīgi un vertikāli vienmērīgi paātrināts (brīvais kritiens bez sākuma ātruma vai vertikāli uz augšu mesta ķermeņa kustība). ).

Literatūra

Aksenovičs L. A. Fizika vidusskolā: teorija. Uzdevumi. Pārbaudes: Proc. pabalsts iestādēm, kas nodrošina vispārējo. vide, izglītība / L. A. Aksenoviča, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsy i vykhavanne, 2004. - S. 16-17.

1. attēls. Leņķī pret horizontu izmesta ķermeņa kinemātiskie raksturlielumi

Tāpēc ķermeņa ātruma projekcijas laika gaitā mainās šādi:

kur $v_0$ ir sākotnējais ātrums, $(\mathbf \alpha )$ ir mešanas leņķis.

Izvēloties izcelsmi, sākotnējās koordinātas (1. att.) ir $x_0=y_0=0$. Tad mēs iegūstam:

(1)

Analizēsim formulas (1). Noteiksim izmestā ķermeņa kustības laiku. Lai to izdarītu, y koordinātu iestatām vienādu ar nulli, jo nosēšanās brīdī ķermeņa augstums ir nulle. No šejienes mēs iegūstam lidojuma laiku:

Otrā laika vērtība, kurā augstums ir vienāds ar nulli, ir vienāda ar nulli, kas atbilst metiena brīdim, t.i. šai vērtībai ir arī fiziska nozīme.

Lidojuma diapazonu iegūst no pirmās formulas (1). Lidojuma diapazons ir x-koordinātas vērtība lidojuma beigās, t.i. laika momentā, kas vienāds ar $t_0$. Aizvietojot vērtību (2) pirmajā formulā (1), mēs iegūstam:

No šīs formulas var redzēt, ka vislielākais lidojuma diapazons tiek sasniegts 45 grādu metiena leņķī.

No (1) vienādojumiem var iegūt ķermeņa trajektorijas vienādojumu, t.i. vienādojums, kas nosaka ķermeņa x un y koordinātas kustības laikā. Lai to izdarītu, jums ir jāizsaka laiks no pirmā vienādojuma (1):

un aizstājiet to ar otro vienādojumu. Tad mēs iegūstam:

Šis vienādojums ir trajektorijas vienādojums. Var redzēt, ka šis ir vienādojums parabolai ar zariem uz leju, kā to norāda zīme “-” kvadrātiskā vārda priekšā. Jāpatur prātā, ka mešanas leņķis $\alpha $ un tā funkcijas šeit ir tikai konstantes, t.i. nemainīgi skaitļi.

Ķermenis tiek izmests ar ātrumu v0 leņķī $(\mathbf \alpha )$ pret horizontu. Lidojuma laiks $t = 2 s$. Uz kādu augstumu Hmax ķermenis pacelsies?

$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$

Ķermeņa kustības likums ir šāds:

$$\left\( \begin(masīvs)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(masīvs) \right.$ $

Sākotnējā ātruma vektors veido leņķi $(\mathbf \alpha )$ ar OX asi. Tāpēc

\ \ \

Akmens tiek izmests no kalna virsotnes leņķī = 30$()^\circ$ pret horizontu ar sākotnējo ātrumu $v_0 = 6 m/s$. Slīpa plaknes leņķis = 30$()^\circ$. Kādā attālumā no metiena punkta nokritīs akmens?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

Novietosim koordinātu sākumpunktu mešanas punktā, OX - pa slīpo plakni uz leju, OY - perpendikulāri slīpajai plaknei uz augšu. Kustības kinemātiskās īpašības:

Kustības likums:

$$\left\( \begin(masīvs)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(masīvs) \right.$$ \

Aizvietojot iegūto vērtību $t_B$, mēs atrodam $S$: