Kesişen 2 düzlem verildiğinde, düzlem var mıdır? İki uçağın karşılıklı düzenlemesi

“Düz bir çizgi ve bir düzlemin karşılıklı düzenlenmesi” konusunu test edin. İki uçağın karşılıklı düzenlenmesi "

Sağlanan seçeneklerden bir doğru cevap seçin:

Uzayda iki doğrunun aşağıdaki durumlarda kesiştiği söylenir:

A - ortak noktaları yok

B - içlerinden bir uçak çizemezsiniz

C - aynı düzlemde uzanırlar ve kesişmezler

Uzayda bir doğru ve ona ait olmayan bir nokta verilmiştir. Verilen doğruyu kesmeyen kaç tane doğru bu noktadan geçer?

A tek çizgidir

B - iki farklı hat

C - satır kümesi

Dümdüz A düz bir çizgi ile kesişir B ve düz çizgi B düz bir çizgi ile kesişir C . Bunu doğrudan takip ediyor mu? A Ve C melez:

A - hayır, paralel olabilirler

B - evet, düz A Ve C melez

C - hayır, kesişebilirler veya paralel olabilirler

Kesişen iki düzlem verilmiştir. Her birinde, düzlemlerin kesişme çizgisiyle kesişen düz bir çizgi bulunur. Bu çizgilerin birbirlerine göre yerlerini belirleyin:

A - bu doğrular ya kesişir ya da kesişir

B - bu çizgiler kesişiyor

C - bu çizgiler kesişebilir, paralel veya kesişebilir

Aynı düzleme paralel iki çizginin birbirine paralel olduğu doğru mu?

Ah evet, bu doğru

B - hayır, çizgiler kesişebilir

C - hayır, doğrular kesişebilir veya kesişebilir

Bir düzleme paralel bir doğrunun o düzlemdeki herhangi bir doğruya paralel olduğu doğru mu?

Ah evet, bu doğru

B - hayır, bu düzlemde uzanan yalnızca bir düz çizgiye paraleldir

C-hayır doğru değil

Kesişen iki düzlem verilmiştir. Verilen iki düzlemi paralel doğrular boyunca kesen bir düzlem var mı?

Ve - evet, bu tür birçok uçak var

B - evet, böyle bir uçak var

C - hayır, böyle uçaklar yok

Aynı doğruya paralel düzlemler kesişebilir mi?

Ve evet, yapabilirler

B - hayır, paralel olacaklar

C - hayır, eşleşiyorlar

Uçak α düzleme paralel β , uçak β düzleme paralel ϕ . Uçaklar nasıl düzenlenir? α Ve ϕ:

A - uçaklar kesişir

B - düzlemler paraleldir

Dan küpü ABCDMEFN .

Küpün hangi yüzleri kenara paralel olacak? CD :

A - ABCD Ve MEFN

İÇİNDE - ABEM Ve CDNF

C – ABEM Ve MEFN

Kenarla kesişen küpün kenarlarını belirtin MN :

A - AB, M.Ö, EF Ve CD

İÇİNDE - AB, OLMAK, CD Ve CF

C – AM, BEN, DN Ve NF

Küpün yüzeylerinden kaç çift paralel düzlem geçer:

A - 3

4'te

C - 6

Bir küpün kaç çift paralel kenarı vardır:

A - 12

B - 18

S - 24

Hatlar nasıl düzenlenir? AC Ve D.F. :

A - melez

B - kesişme

C - paralel

Değerlendirme kriterleri:

İyi şanlar!

Uzayda iki düzlem karşılıklı olarak paralel olabilir, belirli bir durumda birbiriyle çakışabilir veya kesişebilir. Karşılıklı olarak dikey düzlemler, kesişen düzlemlerin özel bir durumudur.

1. Paralel düzlemler. Bir düzlemin kesişen iki çizgisi sırasıyla başka bir düzlemin kesişen iki çizgisine paralelse, düzlemler paraleldir.

Bu tanım, B noktasından kesişen iki düz çizgi ab tarafından verilen düzleme paralel bir düzlem çizme görevi ile iyi bir şekilde gösterilmiştir (Şekil 61).

Görev. Verilen: uçak genel pozisyon, kesişen iki çizgi ab ve B noktası ile verilir.

B noktasından, ab düzlemine paralel bir düzlem çizmek ve onu kesişen iki çizgi c ve d ile ayarlamak gerekir.

Tanıma göre, bir düzlemin kesişen iki doğrusu sırasıyla başka bir düzlemin kesişen iki doğrusuna paralel ise, bu düzlemler birbirine paraleldir.

Diyagramda paralel çizgiler çizmek için paralel izdüşüm özelliğini kullanmak gerekir - paralel çizgilerin izdüşümleri birbirine paraleldir

d//a, с//b Þ d1//a1,с1//b1; d2//a2 ,с2//b2; d3//a3,с3//b3.

Şekil 61. Paralel düzlemler

2. Kesişen uçaklar,özel bir durum - karşılıklı olarak dik düzlemler. İki düzlemin kesişme çizgisi, yapımı için her iki düzlemde ortak olan iki noktasını veya bir noktayı ve düzlemlerin kesişme çizgisinin yönünü belirlemenin yeterli olduğu düz bir çizgidir.

Biri çıkıntı yaparken, iki düzlemin kesişme çizgisinin inşasını düşünün (Şek. 62).

Görev. Verilen: genel konumdaki düzlem ABC üçgeni tarafından verilir ve ikinci düzlem yatay olarak a çıkıntısıdır.

Düzlemlerin kesiştiği bir çizgi oluşturmak gerekir.

Problemin çözümü, bu düzlemlerde ortak olan ve içinden düz bir çizginin çizilebileceği iki nokta bulmaktır. ABC üçgeni tarafından tanımlanan düzlem düz çizgiler (AB), (AC), (BC) olarak temsil edilebilir. Çizginin (AB) düzlemi ile kesişme noktası a - nokta D, çizgi (AC) -F. Segment, düzlemlerin kesişme çizgisini tanımlar. a yatay olarak çıkıntı yapan bir düzlem olduğu için, D1F1 izdüşümü aP1 düzleminin iziyle çakışıyor, dolayısıyla geriye sadece P2 ve P3'teki eksik izdüşümleri oluşturmak kalıyor.

Şekil 62. Genel konumdaki bir düzlemin yatay olarak çıkıntı yapan bir düzlemle kesişimi

Genel duruma geçelim. İki jenerik düzlem a(m,n) ve b (ABC) uzayda verilsin (Şekil 63)

Şekil 63. Genel konumda düzlemlerin kesişimi

a(m//n) ve b(ABC) düzlemlerinin kesişme çizgisini oluşturma sırasını düşünün. Bir önceki probleme benzeterek, bu düzlemlerin kesişme çizgisini bulmak için g ve d yardımcı sekant düzlemlerini çizeriz. Bu düzlemlerin incelenen düzlemlerle kesişme çizgilerini bulalım. Düzlem g, düz bir çizgi (12) boyunca a düzlemini ve düz bir çizgi (34) boyunca b - düzlemini keser. K noktası - bu çizgilerin kesişme noktası aynı anda a, b ve g üç düzlemine aittir, bu nedenle a ve b düzlemlerinin kesişme çizgisine ait bir noktadır. Düzlem d, sırasıyla (56) ve (7C) çizgileri boyunca a ve b düzlemlerini keser, kesişme noktaları M aynı anda üç düzlemde a, b, d bulunur ve a ve b düzlemlerinin düz kesişme çizgisine aittir. Böylece, a ve b düzlemlerinin kesişme çizgisine ait iki nokta bulunur - düz bir çizgi (KM).

Yardımcı sekant düzlemleri, düzlemi tanımlayan düz çizgiler boyunca çizilirse, düzlemlerin kesişme çizgisinin oluşturulmasında bir miktar basitleştirme elde edilebilir.

Karşılıklı dik düzlemler. Stereometriden, iki düzlemden biri diğerine dikey olarak geçerse karşılıklı olarak dik olduğu bilinmektedir. A noktasından, verilen a (f, h) düzlemine dik bir dizi düzlem çizebilirsiniz. Bu düzlemler, uzayda, ekseni A noktasından a düzlemine düşen dikey olan bir düzlem demetini oluşturur. A noktasından kesişen iki hf doğrusunun verdiği düzleme dik bir düzlem çizmek için, A noktasından hf düzlemine dik bir n doğrusu çizmek gerekir (yatay izdüşüm n, yatay çizginin yatay izdüşümüne diktir). h, önden çıkıntı n, önden f)'nin önden izdüşümüne diktir. n çizgisinden geçen herhangi bir düzlem, hf düzlemine dik olacaktır, bu nedenle, düzlemi A noktalarından ayarlamak için keyfi bir m çizgisi çizeriz. Kesişen iki doğru mn tarafından verilen düzlem, hf düzlemine dik olacaktır (Şekil 64).

Şekil 64. Karşılıklı dik düzlemler

İki düzlem düz bir çizgide kesişir, bunun için ya düzlemlerde ortak olan iki noktayı ya da bir noktayı ve kesişme çizgisinin yönünü belirlemek yeterlidir.

Uçakların kesişme çizgisinin izdüşümlerini ve bunların izdüşüm düzlemlerine göre konumlarını oluşturma görevlerini ele alalım.

1. Düzlemler izlerle veriliyorsa ve izler çizim içinde kesişiyorsa (Şekil 4.14a), kesişme çizgisinin iki noktası aynı adlı izlerin kesiştiği noktada belirlenir. 1. nokta yatay izlerin kesiştiği nokta, 2. nokta ise ön izlerin kesiştiği noktadır. Astar ben(1 1 1 2) - l ve å düzlemlerinin kesişme çizgisi.

Pirinç. 4.14a. Düzlemler izlerle verilir.

2. Düzlemlerin kesiştiği özel durumlardan biri, bunlardan biri çıkıntılı bir düzlem olduğunda (Şekil 4.14b).

Problem, hem çıkıntı yapan düzleme hem de genel konumdaki düzleme ait bir doğrunun ikinci izdüşümünün belirlenmesine indirgenmiştir.

Çıkıntı düzleminin karşılık gelen izinin 1 ve 2 noktalarının genel konum düzlemi ile kesişme noktalarını belirliyoruz. İletişim hatları boyunca ikinci izdüşümü belirliyoruz. Daha sonra, kesişme çizgisine göre genel konum düzleminin bölmelerinin görünürlüğünü belirlemek gerekir.

Pirinç. 4.14b. Uçaklardan biri çıkıntı yapıyor.

3. Bazı durumlarda, düzlemlerin kesişme çizgisi belirli bir konumdaki bir çizgidir (Şekil 4.14c).

Düzlemlerin yatay olarak kesişmesindeki problemleri ele alalım. Birinci problemde, l düzlemlerinden biri yatay bir düzlemdir, bu nedenle kesişme izdüşümünün ön çizgisi H 2 bu düzlemin izine denk gelir ve yataydır. Yatay izdüşüm, izlerin kesiştiği nokta 1 ve yön tarafından belirlenir. H 1 || 1 .

Pirinç. 4.14c. Özel konum çizgileri boyunca kesişme.

İkinci problemde, genel konumdaki düzlemlerin yatay izleri l 1 || e 1 . Bu nedenle, kesişme çizgisinin yatay izdüşümü onlara paralel olacaktır. H 1 || l 1 || å 1 , ve ön kısım, ön izlerin kesişme noktasının 1. noktasından geçecektir.

Önden geçiş durumları benzerdir. Kesişme çizgisi çıkıntılı çizgiler olduğunda, düzlemlerin kesiştiği başka özel durumlar da vardır.

4. Düzlemlerin kesiştiği genel durum, bu düzlemler için ortak noktalar çizimde hemen belirlenmediğinde. Böyle bir sorunu çözmek için, genellikle özel bir konuma sahip yardımcı kesme düzlemleri kullanılır - ya düz düzlemler ya da çıkıntılı olanlar.

Şekil l'deki örneği düşünün. 4.15.

Paralel çizgilerle tanımlanan iki düzlem verildiğinde ( A || B) ve bir üçgen ABC. Bu düzlemlerin iki ortak noktasını belirlemek için problemi algoritmaya göre çözüyoruz:

1. Birinci yardımcı yatay seviye düzlemini å girin.

2. Verilen her düzlemin kesişme çizgilerini yardımcı ( ve || B) Ç å ® H å ( ABC) Ç å ® H e. Bu çizgiler, bu düzlemlerin dış hatlarıdır.

3. Kesişme çizgisinin kesişme noktasını belirleyin. Nokta I, bu uçaklar için ortaktır.

Pirinç. 4.15. Düzlemlerin kesiştiği genel durum.

1) Bir doğru ve kesişen iki düzlem verildiğinde. Karşılıklı düzenlemelerinin tüm olası durumlarını açıklayın.

2) Kesişen iki düzlem verilmiştir. Verilen iki düzlemi paralel doğrular boyunca kesen bir düzlem var mı?

2. C noktasında kesişen iki doğru verildiğinde. Herhangi bir üçüncü doğru, verilen doğruların her biriyle ortak bir noktaya sahip olan, aynı düzlemde onlarla birlikte uzanıyor mu?

3.

4. İki paralel düzlem arasındaki mesafe 8 cm'dir Aralarına, uçları düzlemlere ait olacak şekilde uzunluğu 17 cm olan bir doğru parçası yerleştirilmiştir. Bu doğru parçasının her bir düzlem üzerindeki izdüşümünü bulun.

5. Doğru cümleyi bulmak için cümleyi tamamlayın:

d) bilmiyorum

6. a ve b doğruları diktir. A ve B noktaları a doğrusuna, C ve D noktaları b doğrusuna aittir. AC ve BD doğruları aynı düzlemde midir?

7. ABCDA1B1C1D1 küpünde AC ve B1D1 yüzlerinin köşegenleri çizilmiştir. göreceli konumları nedir?

8. ABCDA1B1C1D1 küpünün kenarı m'ye eşittir. AB ve CC1 doğruları arasındaki mesafeyi bulun.

A) 2m B) 1/2m C) m D) bilmiyorum

9. İfadenin doğru olup olmadığını belirleyin:

A) evet B) hayır C) her zaman değil D) bilmiyorum

10. ABCDA1B1C1D1 küpünde BCD ve BCC1B1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

A) 90° B) 45° C) 0° D) 60°

11. Sadece bir yüzü tabanına dik olan bir prizma var mı?

A) evet B) hayır C) bilmiyorum

12. Bir küboid köşegeni yan kenardan daha küçük olabilir mi?

A) evet B) hayır C) bilmiyorum

13. Kenarı 10 olan bir küpün yan yüzeyinin alanı nedir?

A) 40 B) 400 C) 100 D) 200

14. Köşegeni d ise bir küpün toplam yüzey alanı nedir?

A) 2d2 B) 6d2 C) 3d2 D) 4d2

15. Düzgün bir dörtgen piramidin kaç tane simetri düzlemi vardır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6

16. Herhangi bir düzenli piramidin eksenel bölümü nedir?

A) bir eşkenar üçgen

B) dikdörtgen

B) bir yamuk

D) ikizkenar üçgen

lütfen testi çözmeme yardım edin

1. Çakışmayan iki farklı düzlemin kaç tane ortak doğrusu olabilir?
A) 1 B) 2 C) sonsuz sayıda D) yok E) Bilmiyorum
2. Bir C noktasında kesişen iki doğru verilmiş. Aynı düzlemde onlarla birlikte uzanan ve verilen doğruların her biriyle ortak bir noktası olan herhangi bir üçüncü doğru var mı?
A) her zaman evet B) her zaman hayır C) yalan söyler ama her zaman değil D) Bilmiyorum
3. İfadenin doğru olup olmadığını belirleyin:
İki düzlem aynı doğruya paralel ise paraleldir.
A) evet B) hayır C) Bilmiyorum D) her zaman değil
4. İki paralel düzlem arasındaki mesafe 8 cm'dir Aralarına, uçları düzlemlere ait olacak şekilde uzunluğu 17 cm olan bir doğru parçası yerleştirilmiştir. Bu doğru parçasının her bir düzlem üzerindeki izdüşümünü bulun.
A) 15 cm B) 9 cm C) 25 cm D) Bilmiyorum
5. Doğru ifadeyi elde etmek için ifadeyi tamamlayın:
Birbirine dik iki düzlemden birinde uzanan bir doğru bunların kesişme çizgisine dik ise, o zaman ...
A) başka bir düzleme paralel
B) başka bir düzlemle kesişir
B) başka bir düzleme dik
d) bilmiyorum
6. a ve b doğruları diktir. A ve B noktaları a doğrusuna, C ve D noktaları b doğrusuna aittir. AC ve BD doğruları aynı düzlemde midir?
A) evet B) hayır C) her zaman değil D) bilmiyorum
7. ABCDA1B1C1D1 küpünde AC ve B1D1 yüzlerinin köşegenleri çiziliyor. göreceli konumları nedir?
A) kesişir B) kesişir C) paralel D) bilmiyorum
8. ABCDA1B1C1D1 küpünün kenarı m'ye eşittir. AB ve CC1 doğruları arasındaki mesafeyi bulun.
A) 2m B) C) m D) bilmiyorum
9. İfadenin doğru olup olmadığını belirleyin:
İki doğru aynı düzlemle eşit açı yapıyorsa paraleldir.
A) evet B) hayır C) her zaman değil D) bilmiyorum
10. ABCDA1B1C1D1 küpünde, BCD ve BCC1B1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.
A) 90 B) 45 C) 0 D) 60
11. Sadece bir yüzü tabanına dik olan bir prizma var mıdır?
A) evet B) hayır C) bilmiyorum
12. Dikdörtgen bir paralel borunun köşegeni yan kenardan küçük olabilir mi?
A) evet B) hayır C) bilmiyorum
13. Kenarı 10 olan bir küpün yan yüzeyinin alanı nedir?
A) 40 B) 400 C) 100 D) 200
14. Köşegeni d ise bir küpün toplam yüzey alanı nedir?
A) 2d2 B) 6d2 C) 3d2 D) 4d2
15. Düzgün bir dörtgen piramidin kaç tane simetri düzlemi vardır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
16. Herhangi bir düzgün piramidin eksenel bölümü nedir?
A) bir eşkenar üçgen
B) dikdörtgen
B) bir yamuk
D) ikizkenar üçgen

Bu bölümde, uzayda düz bir çizginin denklemi konusunu stereometri açısından incelemeye devam edeceğiz. Bu, üç boyutlu uzayda düz bir çizgiyi iki düzlemin kesişme çizgisi olarak ele alacağımız anlamına gelir.

Stereometri aksiyomlarına göre, eğer iki düzlem çakışmazsa ve bir ortak noktaya sahipse, o zaman iki düzlemde ortak olan tüm noktaların üzerinde bulunduğu bir ortak düz çizgiye de sahip olurlar. Kesişen iki düzlemin denklemlerini kullanarak dikdörtgen bir koordinat sisteminde düz bir çizgi tanımlayabiliriz.

Konunun ele alınması sırasında, malzemenin daha iyi özümsenmesi için gerekli olan çok sayıda örnek, bir dizi grafik çizim ve ayrıntılı çözümler vereceğiz.

Birbiriyle çakışmayan ve kesişen iki düzlem verilsin. Bunları α düzlemi ve β düzlemi olarak gösterelim. Bunları üç boyutlu uzayın O x y z dikdörtgen koordinat sistemine yerleştirelim.

Hatırladığımız gibi, dikdörtgen koordinat sistemindeki herhangi bir düzlem, A x + B y + C z + D = 0 biçimindeki düzlemin genel denklemini tanımlar. α düzleminin A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 denklemine ve β düzleminin A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = denklemine karşılık geldiğini varsayıyoruz. 0 . Bu durumda, α ve β n 1 → \u003d (A 1, B 1, C 1) ve n 2 → \u003d (A 2, B 2, C 2) düzlemlerinin normal vektörleri doğrusal değildir, çünkü düzlemler birbiriyle çakışmaz ve birbirine paralel yerleştirilir. Bu koşulu şu şekilde yazıyoruz:

n 1 → ≠ λ n 2 → ⇔ Bir 1 , B 1 , C 1 ≠ λ Bir 2 , λ B 2 , λ C 2 , λ ∈ R

"Uçakların paralelliği" konulu materyali yenilemek için web sitemizin ilgili bölümüne bakın.

Uçakların kesişme çizgisi harfle gösterilecektir. A . Onlar. bir = α ∩ β . Bu çizgi, hem α hem de β düzlemlerinde ortak olan bir noktalar kümesidir. Bu, a düz çizgisinin tüm noktalarının A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ve A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 düzleminin her iki denklemini de karşıladığı anlamına gelir. Aslında, A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 denklem sisteminin özel bir çözümüdür.

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 doğrusal denklem sisteminin genel çözümü, çizginin tüm noktalarının koordinatlarını belirler iki düzlemin kesiştiği α ve .beta. Bu, onun yardımıyla, O x y z dikdörtgen koordinat sisteminde düz bir çizginin konumunu belirleyebileceğimiz anlamına gelir.

Açıklanan teoriyi şimdi belirli bir örnekle bir kez daha ele alalım.

örnek 1

Ox çizgisi, Oxy ve Oxz koordinat düzlemlerinin kesiştiği çizgidir. O x y düzlemini z = 0 denklemiyle ve O x z düzlemini y = 0 denklemiyle tanımlarız. Bu yaklaşımı "Bir Düzlemin Eksik Genel Denklemi" bölümünde ayrıntılı olarak ele aldık, bu nedenle zorluk olması durumunda bu malzemeye tekrar başvurabiliriz. Bu durumda, Ox koordinat çizgisi, y = 0 z = 0 biçimindeki iki denklem sistemi tarafından üç boyutlu bir koordinat sisteminde belirlenir.

Düzlemlerin kesiştiği bir doğru üzerinde bulunan bir noktanın koordinatlarını bulma

Görevi düşünelim. Üç boyutlu uzayda bir dikdörtgen koordinat sistemi O x y z verilsin. İki düzlemin a ile kesiştiği çizgi, A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 denklem sistemi tarafından verilir. Üç boyutlu uzayda verilen bir nokta M 0 x 0 , y 0 , z 0 .

M 0 x 0 , y 0 , z 0 noktasının verilen bir düz çizgiye ait olup olmadığını belirleyelim A .

Problemin sorusuna cevap bulmak için M 0 noktasının koordinatlarını düzlemin iki denkleminin her birine yerine koyuyoruz. Yerine koyma sonucunda her iki denklem de gerçek eşitliklere dönüşürse A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 ve A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0, o zaman M 0 noktası düzlemlerin her birine aittir ve verilen doğruya aittir. A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 ve A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 eşitliklerinden en az biri yanlışsa, o zaman M 0 noktası düz bir çizgiye ait değildir.

Örnek bir çözüm düşünün

Örnek 2

Uzayda bir düz çizgi, 2 x + 3 y + 1 = 0 x - 2 y + z - 3 = 0 şeklindeki kesişen iki düzlemin denklemleriyle verilir. M 0 (1, - 1, 0) ve N 0 (0, - 1 3 , 1) noktalarının düzlemlerin kesiştiği düz bir çizgiye ait olup olmadığını belirleyin.

Çözüm

M 0 noktasından başlayalım. 2 1 + 3 (- 1) + 1 = 0 1 - 2 (- 1) + 0 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

Yerine koyma sonucunda doğru eşitlikleri elde ettik. Bu, M 0 noktasının her iki düzleme ait olduğu ve kesişme çizgisinde bulunduğu anlamına gelir.

N 0 (0, - 1 3, 1) noktasının koordinatlarını düzlemin her iki denkleminde yerine koyalım. 2 0 + 3 - 1 3 + 1 = 0 0 - 2 - 1 3 + 1 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 - 1 1 3 = 0 elde ederiz.

Görüldüğü üzere sistemin ikinci denklemi yanlış bir eşitliğe dönüşmüştür. Bu, N 0 noktasının verilen doğruya ait olmadığı anlamına gelir.

Cevap: M 0 noktası düz bir çizgiye aittir ve N 0 noktası değildir.

Şimdi size, O x y z dikdörtgen koordinat sisteminde uzaydaki düz çizgi kesişen düzlemlerin denklemleri tarafından belirlenirse, düz bir çizgiye ait belirli bir noktanın koordinatlarını bulmak için bir algoritma sunuyoruz A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 Bir 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 bilinmeyenli iki doğrusal denklem sisteminin çözüm sayısı sonsuzdur. Bu çözümlerden herhangi biri soruna bir çözüm olabilir.

Bir örnek alalım.

Örnek 3

x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 biçimindeki kesişen iki düzlemin denklemleriyle üç boyutlu uzayda bir düz çizgi verilsin. Bu doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarını bulun.

Çözüm

x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 ⇔ x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 denklem sistemini yeniden yazalım.

1 0 2 3 = 3 ≠ 0 . Bu demektir z ücretsiz bir bilinmeyen değişkendir.

Serbest bilinmeyen z değişkenini içeren terimleri denklemlerin sağ taraflarına aktarıyoruz:

x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z

Rastgele bir λ gerçek sayısı tanıtıyoruz ve z = λ olduğunu varsayıyoruz.

O zaman x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 λ 2 x + 3 y = - 2 - 3 λ .

Ortaya çıkan denklem sistemini çözmek için Cramer yöntemini uyguluyoruz:

∆ = 1 0 2 3 = 1 3 - 0 1 = 2 ∆ x = - 7 - 3 λ 0 - - 3 λ 3 = - 7 - 3 λ 3 - 0 (- 2 - 3 λ) = 21 - 9 λ ⇒ x = ∆ x ∆ = - 7 - 3 λ ∆ y = 1 - 7 - 3 λ 2 - 2 - 3 λ = 1 - 2 - 3 λ - - 7 - 3 λ = 12 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = 4 + λ

x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 denklem sisteminin genel çözümü x = - 7 - 3 λ y = 4 + λ z = λ olacaktır, burada λ ∈ R .

Belirli bir doğruya ait bir noktanın istenen koordinatlarını bize verecek olan denklem sistemine özel bir çözüm elde etmek için, λ parametresinin belirli bir değerini almamız gerekir. λ = 0 ise, x = - 7 - 3 0 y = 4 + 0 z = 0 ⇔ x = - 7 y = 4 z = 0 .

Bu, istenen noktanın - 7 , 4 , 0 - koordinatlarını almamızı sağlar.

Noktanın bulunan koordinatlarının doğruluğunu kesişen iki düzlemin ilk denklemlerinde yerine koyarak kontrol edelim - 7 + 3 0 + 7 = 0 2 (- 7) + 3 4 + 3 0 + 2 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0.

Cevap: - 7 , 4 , 0

İki düzlemin kesiştiği bir doğrunun yön vektörü

Kesişen iki düzlemin A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ve A 2 x + B 2 denklemleriyle verilen bir düz çizginin yön vektörünün koordinatlarının nasıl belirleneceğine bakalım. y + C2z + D2 = 0 . Dikdörtgen koordinat sistemi 0xz'de, düz bir çizginin yönlendirici vektörü düz bir çizgiden ayrılamaz.

Bildiğimiz gibi, verilen düzlemde bulunan herhangi bir doğruya dik olan bir doğru bir düzleme diktir. Yukarıdakilere dayanarak, düzlemin normal vektörü, verilen düzlemde bulunan sıfır olmayan herhangi bir vektöre diktir. Bu iki gerçek, doğrunun yön vektörünü bulmamıza yardımcı olacaktır.

α ve β düzlemleri doğru boyunca kesişir A . Yön vektörü a → düz çizgi A A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 düzleminin normal vektörü n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) ve n 2 → = (A) normal vektörüne diktir 2 , B 2 , C 2) A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 düzlemleri.

Yön vektörü düz A n → 1 = (A 1 , B 1 , C 1) ve n 2 → = A 2 , B 2 , C2 vektörlerinin bir vektör ürünüdür.

a → = n → 1 × n 2 → = ben → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2

Doğrunun tüm yönlendirici vektörlerinin kümesini λ · a → = λ · n 1 → × n 2 → olarak tanımlarız; burada λ, sıfırdan başka herhangi bir gerçek değer alabilen bir parametredir.

Örnek 4

O x y z dikdörtgen koordinat sisteminde uzayda düz bir çizgi, x + 2 y - 3 z - 2 = 0 x - z + 4 = 0 kesişen iki düzlemin denklemleriyle verilsin. Bu doğrunun herhangi bir yön vektörünün koordinatlarını bulun.

Çözüm

x + 2 y - 3 z - 2 = 0 ve x - z + 4 = 0 düzlemleri n 1 → = 1 , 2 , - 3 ve n 2 → = 1 , 0 , - 1 normal vektörlerine sahiptir. Verilen iki düzlemin kesişimi olan bir düz çizginin yönlendirici vektörü olarak, normal vektörlerin vektör çarpımını alalım:

a → = n → 1 × n 2 → = ben → j → k → 1 2 - 3 1 0 - 1 = ben → 2 (- 1) + j → (- 3) 1 + k → 1 0 - - k → 2 1 - j → 1 (- 1) - ben → (- 3) 0 = - 2 ben → - 2 j → - 2 k →

Cevabı a → = - 2 , - 2 , - 2 koordinat formunda yazalım. Bunun nasıl yapıldığını hatırlamayanlar için “Dikdörtgen koordinat sisteminde vektör koordinatları” konusuna bakmanızı öneririz.

Cevap: bir → = - 2 , - 2 , - 2

Uzayda düz bir çizginin parametrik ve kanonik denklemlerine geçiş

Bir dizi problemi çözmek için, x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ şeklindeki uzayda düz bir çizginin parametrik denklemlerini veya bir doğrunun kanonik denklemlerini kullanmak daha kolaydır uzayda x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ şeklinde bir çizgi. Bu denklemlerde a x , a y , a z doğrunun yön vektörünün koordinatlarıdır, x 1 , y 1 , z 1 doğru üzerindeki bazı noktaların koordinatlarıdır ve λ rasgele gerçek değerler alan bir parametredir.

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 şeklindeki düz bir denklemden kanonik ve parametrik denklemlere gidebilirsiniz uzayda düz bir çizginin. Bir düz çizginin kanonik ve parametrik denklemlerini yazmak için, düz çizgi üzerindeki belirli bir noktanın koordinatlarını ve ayrıca kesişen iki denklem tarafından verilen düz çizgiyi yönlendiren bazı vektörlerin koordinatlarını bulma becerisine ihtiyacımız var. yüzeyleri.

Yukarıdaki örneğe bakalım.

Örnek 5

Kesişen iki düzlemin 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 denklemleriyle üç boyutlu bir koordinat sisteminde bir doğru çizelim. Bu doğrunun kanonik ve parametrik denklemlerini yazalım.

Çözüm

2 x + y - z - 1 = 0 ve n 2 → = (1) düzleminin n 1 → = 2 , 1 , - 1 normal vektörlerinin vektör ürünü olan düz çizginin yönlendirici vektörünün koordinatlarını bulun , 3 , - 2) x + 3 y-2z=0 düzleminin:

a → = n 1 → × n 2 → = ben → j → k → 2 1 - 1 1 3 - 2 = ben → 1 (- 2) + j → (- 1) 1 + k → 2 3 - - k → 1 1 - j → 2 (- 2) - ben → (- 1) 3 = ben → + 3 j → + 5 k →

Düz çizginin yön vektörü koordinatları a → = (1 , 2 , 5) .

Bir sonraki adım, denklem sisteminin çözümlerinden biri olan verilen düz çizginin bazı noktalarının koordinatlarını belirlemektir: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2z = 0 .

2 1 1 3 = 2 · 3 - 1 · 1 = 5 determinantını sistemin sıfır olmayan küçük matrisi olarak alalım. Bu durumda, değişken z bedava. Terimleri her denklemin sağ tarafına aktarıyoruz ve değişkene rasgele bir λ değeri veriyoruz:

2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y = 1 + z x + 3 y = 2 z ⇔ 2 x + y = 1 + λ x + 3 y = 2 λ , λ ∈R

Ortaya çıkan denklem sistemini çözmek için Cramer yöntemini uyguluyoruz:

∆ = 2 1 1 3 = 2 3 - 1 1 = 5 ∆ x = 1 + λ 1 2 λ 3 = (1 + λ) 3 - 1 2 λ = 3 + λ ⇒ x = ∆ x ∆ = 3 + λ 5 = 3 5 + 1 5 λ ∆ y = 2 1 + λ 1 2 λ = 2 2 λ - (1 + λ) 1 = - 1 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = - 1 + 3 λ 5 = - 1 5 + 3 5 λ

Şunu elde ederiz: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 y = - 1 5 + 3 5 z = λ

Düz bir doğru üzerindeki bir noktanın koordinatlarını almak için λ = 2 alalım: x 1 = 3 5 + 1 5 2 y 1 = - 1 5 + 3 5 2 z 1 = 2 ⇔ x 1 = 1 y 1 = 1 z 1 = 2 . Artık uzayda bu doğrunun kanonik ve parametrik denklemlerini yazmak için yeterli veriye sahibiz: x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ ⇔ x = 1 + 1 λ y = 1 + 3 λ z = 2 + 5 λ ⇔ x = 1 + λ y = 1 + 3 λ z = 2 + 5 λ

Cevap: x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 ve x = 1 + λ y = 1 + 3 λ z = 2 + 5 λ

Bu sorunu çözmenin başka bir yolu var.

Düz bir çizgi üzerinde belirli bir noktanın koordinatlarını bulmak, A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 denklem sistemini çözerek gerçekleştirilir. = 0.

Genel durumda, çözümleri x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ uzayındaki düz bir çizginin istenen parametrik denklemleri şeklinde yazılabilir.

Kanonik denklemlerin elde edilmesi şu şekilde gerçekleştirilir: elde edilen denklemlerin her birini λ parametresine göre çözeriz, eşitliğin doğru kısımlarını eşitleriz.

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y λ = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 bir y = z - z 1 bir z

Problemi çözmek için bu yöntemi uygulayalım.

Örnek 6

Düz çizginin konumunu kesişen iki düzlemin denklemleriyle belirleyelim 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 . Bu doğru için parametrik ve kanonik denklemleri yazalım.

Çözüm

Üç bilinmeyenli iki denklem sisteminin çözümü, önceki örnekte yaptığımızla aynı şekilde gerçekleştirilir. Şunu elde ederiz: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 λ y = - 1 5 + 3 5 λ z = λ .

Bunlar uzayda düz bir çizginin parametrik denklemleridir.

Kanonik denklemler şu şekilde elde edilir: x = 3 5 + 1 5 λ y = - 1 5 + 3 5 λ z = λ ⇔ λ = x - 3 5 1 5 λ = y + 1 5 3 5 λ = z 1 ⇔ x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1

Her iki örnekte elde edilen denklemler dışsal olarak farklıdır, ancak üç boyutlu uzayda aynı nokta kümesini ve dolayısıyla aynı düz çizgiyi belirledikleri için eşdeğerdirler.

Cevap: x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1 ve x = 3 5 + 1 5 λ y = - 1 5 + 3 5 λ z = λ

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.