როგორ განვსაზღვროთ ფუნქციის შეზღუდულობა მაგალითები. ფუნქციის თვისებები - ცოდნის ჰიპერმარკეტი

1) ფუნქციის ფარგლები და ფუნქციის დიაპაზონი.

ფუნქციის ფარგლები არის არგუმენტის ყველა მოქმედი მნიშვნელობის ნაკრები x(ცვლადი x) რისთვისაც ფუნქცია y = f(x)განსაზღვრული. ფუნქციის დიაპაზონი არის ყველა რეალური მნიშვნელობის სიმრავლე წრომ ფუნქცია იღებს.

ელემენტარულ მათემატიკაში ფუნქციებს სწავლობენ მხოლოდ ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეზე.

2) ფუნქცია ნულები.

ფუნქციის ნული არის არგუმენტის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც ფუნქციის მნიშვნელობა ნულის ტოლია.

3) ფუნქციის ნიშნის მუდმივობის ინტერვალები.

ფუნქციის მუდმივი ნიშნის ინტერვალები არის არგუმენტების მნიშვნელობების ისეთი ნაკრები, რომლებზეც ფუნქციის მნიშვნელობები მხოლოდ დადებითი ან მხოლოდ უარყოფითია.

4) ფუნქციის ერთფეროვნება.

მზარდი ფუნქცია (გარკვეულ ინტერვალში) არის ფუნქცია, რომელშიც არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა ამ ინტერვალიდან შეესაბამება ფუნქციის უფრო დიდ მნიშვნელობას.

კლებადი ფუნქცია (რაღაც ინტერვალში) - ფუნქცია, რომელშიც არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა ამ ინტერვალიდან შეესაბამება ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას.

5) ლუწი (კენტი) ფუნქციები.

ლუწი ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის განსაზღვრის დომენი სიმეტრიულია საწყისის მიმართ და ნებისმიერისთვის Xგანმარტების სფეროდან თანასწორობა f(-x) = f(x). ლუწი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია y ღერძის მიმართ.

კენტი ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის განსაზღვრის დომენი სიმეტრიულია საწყისის მიმართ და ნებისმიერისთვის Xგანმარტების სფეროდან თანასწორობა f(-x) = - f(x). კენტი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ.

6) შეზღუდული და შეუზღუდავი ფუნქციები.

ფუნქციას უწოდებენ შეზღუდულს, თუ არსებობს დადებითი რიცხვი M ისეთი, რომ |f(x)| ≤ M x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის. თუ ასეთი რიცხვი არ არის, მაშინ ფუნქცია შეუზღუდავია.

7) ფუნქციის პერიოდულობა.

ფუნქცია f(x) პერიოდულია, თუ არსებობს არა ნულოვანი რიცხვი T ისეთი, რომ ნებისმიერი x ფუნქციის დომენიდან, f(x+T) = f(x). ამ უმცირეს რიცხვს ეწოდება ფუნქციის პერიოდი. ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია პერიოდულია. (ტრიგონომეტრიული ფორმულები).

19. ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები, მათი თვისებები და გრაფიკები. ფუნქციების გამოყენება ეკონომიკაში.

ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები. მათი თვისებები და გრაფიკები

1. ხაზოვანი ფუნქცია.

ხაზოვანი ფუნქცია ეწოდება ფორმის ფუნქცია, სადაც x არის ცვლადი, და b არის რეალური რიცხვები.

ნომერი ასწორი ხაზის დახრილობას უწოდებენ და უდრის ამ სწორი ხაზის დახრილობის კუთხის ტანგენტს x-ღერძის დადებითი მიმართულების მიმართ. წრფივი ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი. იგი განისაზღვრება ორი წერტილით.

ხაზოვანი ფუნქციის თვისებები

1. განმარტების დომენი - ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე: D (y) \u003d R

2. მნიშვნელობათა სიმრავლე არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე: E(y)=R

3. ფუნქცია იღებს ნულოვან მნიშვნელობას ან.

4. ფუნქცია იზრდება (მცირდება) განსაზღვრების მთელ დომენზე.

5. წრფივი ფუნქცია უწყვეტია განსაზღვრების მთელ დომენზე, დიფერენცირებადი და .

2. კვადრატული ფუნქცია.

ფორმის ფუნქცია, სადაც x არის ცვლადი, კოეფიციენტები a, b, c არის რეალური რიცხვები, ე.წ. კვადრატული.

შანსები ა, ბ, გგანსაზღვრეთ გრაფიკის მდებარეობა კოორდინატულ სიბრტყეზე

კოეფიციენტი a განსაზღვრავს ტოტების მიმართულებას. კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა. პარაბოლის წვეროების კოორდინატები გვხვდება ფორმულებით:

ფუნქციის თვისებები:

2. ერთ-ერთი ინტერვალის მნიშვნელობების ნაკრები: ან.

3. ფუნქცია იღებს ნულოვან მნიშვნელობებს, როდესაც , სადაც დისკრიმინანტი გამოითვლება ფორმულით:.

4. ფუნქცია უწყვეტია განსაზღვრების ველში და ფუნქციის წარმოებული ტოლია .

გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: "ფუნქციის თვისებები. ფუნქციის გაზრდა და შემცირება"

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

სასწავლო საშუალებები და ტრენაჟორები ონლაინ მაღაზია "ინტეგრალში" მე-9 კლასისთვის
ინტერაქტიული სასწავლო სახელმძღვანელო მე-9 კლასისთვის "წესები და სავარჯიშოები გეომეტრიაში"
ელექტრონული სახელმძღვანელო „გასაგები გეომეტრია“ 7-9 კლასებისთვის

ბიჭებო, ჩვენ ვაგრძელებთ რიცხვითი ფუნქციების შესწავლას. დღეს ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ ისეთ თემაზე, როგორიცაა ფუნქციის თვისებები. ფუნქციებს ბევრი თვისება აქვთ. გაიხსენეთ რა თვისებები შევისწავლეთ ახლახან. ასეა, ფარგლები და ფარგლები, ისინი ერთ-ერთი მთავარი თვისებაა. არასოდეს დაივიწყოთ ისინი და გახსოვდეთ, რომ ფუნქციას ყოველთვის აქვს ეს თვისებები.

ამ განყოფილებაში განვსაზღვრავთ ფუნქციების ზოგიერთ თვისებას. თანმიმდევრობა, რომლითაც ჩვენ განვსაზღვრავთ მათ, გირჩევთ დავიცვათ პრობლემების გადაჭრისას.

აღმავალი და კლებადი ფუნქცია

პირველი თვისება, რომელსაც ჩვენ განვსაზღვრავთ, არის ფუნქციის გაზრდა და შემცირება.

ფუნქციას ეწოდება მზარდი X⊂D(f) სიმრავლეზე, თუ რომელიმე x1 და x2 ისეთი, რომ x1< x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
ფუნქციას ეწოდება კლებადი X⊂D(f) სიმრავლეზე, თუ რომელიმე x1 და x2 ისეთი, რომ x1< x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). ანუ არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას.

ფუნქციის "ზრდის" და "კლების" ცნებები ძალიან ადვილი გასაგებია, თუ ყურადღებით დავაკვირდებით ფუნქციის გრაფიკებს. მზარდი ფუნქციისთვის: ჩვენ ერთგვარად ავდივართ გორაზე, კლებადი ფუნქციისთვის, შესაბამისად, ქვევით ჩავდივართ. მზარდი და კლებადი ფუნქციების ზოგადი ხედვა წარმოდგენილია ქვემოთ მოცემულ გრაფიკებში.

ფუნქციის მატებას და შემცირებას ზოგადად ერთფეროვნებას უწოდებენ.ანუ ჩვენი ამოცანაა ვიპოვოთ ფუნქციების კლების და გაზრდის ინტერვალები. ზოგადად, ეს ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: იპოვნეთ ერთფეროვნების ინტერვალები ან შეამოწმეთ ფუნქცია ერთფეროვნებისთვის.

გამოიკვლიეთ $y=3x+2$ ფუნქციის ერთფეროვნება.
გამოსავალი: შეამოწმეთ ფუნქცია ნებისმიერი x1 და x2 და მიეცით x1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
რადგან, x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

ფუნქციის შეზღუდვა

ფუნქცია $y=f(x)$ ნათქვამია, რომ ესაზღვრება ქვემოდან X⊂D(f) სიმრავლეზე, თუ არსებობს ისეთი რიცხვი, რომ ნებისმიერი xϵX-ისთვის არის f(x) უტოლობა.< a.

ფუნქცია $y=f(x)$ ნათქვამია, რომ ესაზღვრება ზემოდან X⊂D(f) სიმრავლეზე, თუ არსებობს ისეთი რიცხვი, რომ ნებისმიერი xϵX უტოლობა f(x)< a.

თუ X ინტერვალი არ არის მითითებული, მაშინ ითვლება, რომ ფუნქცია შეზღუდულია განსაზღვრების მთელ დომენზე. ფუნქციას, რომელიც შემოიფარგლება როგორც ზემოთ, ასევე ქვემოთ, ეწოდება შეზღუდული.

ფუნქციის შეზღუდვა ადვილად იკითხება გრაფიკიდან. შესაძლებელია სწორი ხაზის დახაზვა
$y=a$ და თუ ფუნქცია ამ წრფეზე მაღალია, მაშინ ის შემოსაზღვრულია ქვემოდან. თუ ქვემოთ, მაშინ შესაბამისად ზემოთ. ქვემოთ მოცემულია ქვედა შემოსაზღვრული ფუნქციის გრაფიკი. შემოსაზღვრული ფუნქციის გრაფიკი, ბიჭებო, შეეცადეთ დახატოთ იგი საკუთარ თავს.

გამოიკვლიეთ $y=\sqrt(16-x^2)$ ფუნქციის შეზღუდულობა.
ამოხსნა: ზოგიერთი რიცხვის კვადრატული ფესვი მეტია ან ტოლია ნულის. ცხადია, ჩვენი ფუნქციაც მეტია ან ტოლია ნულის, ანუ ქვემოდან შემოსაზღვრულია.
კვადრატული ფესვის ამოღება შეგვიძლია მხოლოდ არაუარყოფითი რიცხვიდან, შემდეგ $16-x^2≥0$.
ჩვენი უტოლობის გამოსავალი იქნება ინტერვალი [-4;4]. ამ სეგმენტზე $16-x^2≤16$ ან $\sqrt(16-x^2)≤4$, მაგრამ ეს ნიშნავს შეზღუდვას ზემოდან.
პასუხი: ჩვენი ფუნქცია შემოიფარგლება ორი ხაზით $y=0$ და $y=4$.

უმაღლესი და ყველაზე დაბალი ღირებულება

y= f(x) ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა Х⊂D(f) სიმრავლეში არის რაღაც m რიცხვი, ისეთი, რომ:

ბ) ნებისმიერი xϵX-ისთვის მოქმედებს $f(x)≥f(x0)$.

y=f(x) ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა Х⊂D(f) სიმრავლეში არის რაღაც m რიცხვი, ისეთი, რომ:
ა) არის რაღაც x0 ისეთი, რომ $f(x0)=m$.
ბ) ნებისმიერი xϵX-ისთვის $f(x)≤f(x0)$ დაკმაყოფილებულია.

ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობა ჩვეულებრივ აღინიშნება y max-ით. და y სახელი. .

შეზღუდულობის ცნებები და ყველაზე დიდი ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობით მჭიდრო კავშირშია. შემდეგი განცხადებები მართალია:
ა) თუ ფუნქციისთვის არის უმცირესი მნიშვნელობა, მაშინ ის შემოსაზღვრულია ქვემოდან.
ბ) თუ არსებობს ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა, მაშინ ის შემოსაზღვრულია ზემოდან.
გ) თუ ფუნქცია არ არის შემოსაზღვრული ზემოდან, მაშინ არ არსებობს მაქსიმალური მნიშვნელობა.
დ) თუ ფუნქცია არ არის შემოსაზღვრული ქვემოთ, მაშინ უმცირესი მნიშვნელობა არ არსებობს.

იპოვეთ $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა.
ამოხსნა: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
$x=4$ $f(4)=5$-ისთვის, ყველა სხვა მნიშვნელობისთვის ფუნქცია იღებს უფრო მცირე მნიშვნელობებს ან არ არსებობს, ანუ ეს არის ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა.
განმარტებით: $9-4x^2+16x≥0$. იპოვეთ $(2x+1)(2x-9)≥0$ კვადრატული ტრინომის ფესვები. $x=-0.5$-ზე და $x=4.5$-ზე ფუნქცია ქრება, ყველა სხვა წერტილში ის მეტია ნულზე. მაშინ, განსაზღვრებით, ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა არის ნული.
პასუხი: y max. =5 და y წთ. =0.

ბიჭებო, ჩვენ ასევე შევისწავლეთ ფუნქციის ამოზნექილი ცნებები. ზოგიერთი პრობლემის გადაჭრისას შეიძლება დაგვჭირდეს ეს ქონება. ეს თვისება ასევე ადვილად განისაზღვრება გრაფიკების გამოყენებით.

ფუნქცია ამოზნექილია, თუ თავდაპირველი ფუნქციის გრაფიკის რომელიმე ორი წერტილი არის დაკავშირებული, ხოლო ფუნქციის გრაფიკი არის წერტილების დამაკავშირებელი ხაზის ქვემოთ.

ფუნქცია ამოზნექილია ზემოთ, თუ თავდაპირველი ფუნქციის გრაფიკის ორი წერტილი არის დაკავშირებული, ხოლო ფუნქციის გრაფიკი არის წერტილების დამაკავშირებელი ხაზის ზემოთ.

ფუნქცია უწყვეტია, თუ ჩვენი ფუნქციის გრაფიკს არ აქვს უწყვეტობა, როგორიცაა ზემოთ მოცემული ფუნქციის გრაფიკი.

თუ გსურთ იპოვოთ ფუნქციის თვისებები, მაშინ თვისებების ძიების თანმიმდევრობა ასეთია:
ა) განმარტების დომენი.
ბ) ერთფეროვნება.
გ) შეზღუდვა.
დ) უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა.
ე) უწყვეტობა.
ვ) მნიშვნელობების დიაპაზონი.

იპოვეთ $y=-2x+5$ ფუნქციის თვისებები.
გამოსავალი.
ა) განმარტების დომენი D(y)=(-∞;+∞).
ბ) ერთფეროვნება. მოდით შევამოწმოთ ნებისმიერი მნიშვნელობა x1 და x2 და დავუშვათ x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
რადგან x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
გ) შეზღუდვა. ცხადია, ფუნქცია შეზღუდული არ არის.
დ) უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა. ვინაიდან ფუნქცია შეზღუდული არ არის, არ არსებობს მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობა.
ე) უწყვეტობა. ჩვენი ფუნქციის გრაფიკს არ აქვს ხარვეზები, მაშინ ფუნქცია უწყვეტია.
ვ) მნიშვნელობების დიაპაზონი. E(y)=(-∞;+∞).

ამოცანები ფუნქციის თვისებებზე დამოუკიდებელი ამოხსნისთვის

იპოვნეთ ფუნქციის თვისებები:
ა) $y=2x+7$,
ბ) $y=3x^2$,
გ) $y=\frac(4)(x)$.

y=f(x) ფუნქციას დავარქმევთ BOUNDED UP (BOTTOM) A სიმრავლეზე D(f) დომენიდან, თუ არის ასეთი რიცხვი. მ , რომ ნებისმიერი x ამ კომპლექტის პირობა

ლოგიკური სიმბოლოების გამოყენებით, განმარტება შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

f(x) – გადასაღებ მოედანზე ზემოდან შემოსაზღვრული

(f(x) – ქვემოდან შემოსაზღვრული გადასაღებ მოედანზე

ასევე მხედველობაში მიიღება აბსოლუტური მნიშვნელობით შემოსაზღვრული ან უბრალოდ შემოსაზღვრული ფუნქციები.

ჩვენ დავარქმევთ ფუნქციას BOUNDED A სიმრავლეზე განმარტების სფეროდან, თუ არსებობს დადებითი რიცხვი M ისეთი, რომ

ლოგიკური სიმბოლოების ენაზე

f(x) – შეზღუდული კომპლექტში

ფუნქციას, რომელიც არ არის შემოსაზღვრული, ეწოდება შეუზღუდავი. ჩვენ ვიცით, რომ უარყოფით მოცემულ განმარტებებს მცირე შინაარსი აქვს. ამ მტკიცების განმარტებად ჩამოსაყალიბებლად, ჩვენ ვიყენებთ რაოდენობრივი მოქმედებების (3.6) და (3.7) თვისებებს. მაშინ ფუნქციის შეზღუდვის უარყოფა ლოგიკური სიმბოლოების ენაზე მისცემს:

f(x) – შეზღუდული კომპლექტში

მიღებული შედეგი საშუალებას გვაძლევს ჩამოვაყალიბოთ შემდეგი განმარტება.

ფუნქციას ეწოდება UNLIMITED A სიმრავლეზე, რომელიც ეკუთვნის ფუნქციის დომენს, თუ ამ სიმრავლეში რომელიმე დადებითი რიცხვისთვის M არის არგუმენტის x-ის ასეთი მნიშვნელობა. , რომ მნიშვნელობა მაინც გადააჭარბებს M-ის მნიშვნელობას, ანუ .

მაგალითად, განიხილეთ ფუნქცია

იგი განისაზღვრება მთელ რეალურ ღერძზე. თუ ავიღებთ [–2;1] სეგმენტს (A სიმრავლე), მაშინ მასზე ის შემოიფარგლება როგორც ზემოდან, ასევე ქვემოდან.

მართლაც, იმის საჩვენებლად, რომ ის ზემოდან არის შემოსაზღვრული, უნდა განვიხილოთ პრედიკატი

და აჩვენეთ, რომ არის (არსებობს) M ისეთი, რომ ყველა x-ისთვის, რომელიც აღებულია სეგმენტზე [–2;1], ეს იქნება ჭეშმარიტი

ასეთი მ-ის პოვნა არ არის რთული. შეგვიძლია ვივარაუდოთ M = 7, არსებობის კვანტიფიკატორი გულისხმობს M-ის მინიმუმ ერთი მნიშვნელობის პოვნას. ასეთი M-ის არსებობა ადასტურებს იმ ფაქტს, რომ ფუნქცია [–2;1] სეგმენტზე შემოსაზღვრულია ზემოდან.

მისი შეზღუდულობის დასამტკიცებლად ქვემოდან უნდა განვიხილოთ პრედიკატი

M-ის მნიშვნელობა, რომელიც უზრუნველყოფს ამ პრედიკატის ჭეშმარიტებას, არის, მაგალითად, M = -100.

შეიძლება დადასტურდეს, რომ ფუნქცია შემოიფარგლება მოდულითაც: ყველა x-სთვის [–2;1] სეგმენტიდან, ფუნქციის მნიშვნელობები ემთხვევა მნიშვნელობებს, შესაბამისად, როგორც M, შეგვიძლია ავიღოთ მაგალითად, წინა მნიშვნელობა M = 7.

ვაჩვენოთ, რომ იგივე ფუნქცია, მაგრამ ინტერვალზე, შეუზღუდავი იქნება, ანუ,

იმის საჩვენებლად, რომ ასეთი x არსებობს, განიხილეთ განცხადება

არგუმენტის დადებით მნიშვნელობებს შორის x-ის საჭირო მნიშვნელობების მოძიებისას, ჩვენ ვიღებთ

ეს ნიშნავს, რომ რაც არ უნდა დადებითი Mwe მიიღოს, x-ის მნიშვნელობები, რომლებიც უზრუნველყოფენ უთანასწორობის შესრულებას

თანაფარდობიდან მიიღება.

მთლიან რეალურ ღერძზე ფუნქციის გათვალისწინებით, შეიძლება აჩვენოთ, რომ ის შეუზღუდავია აბსოლუტურ მნიშვნელობაში.

მართლაც, უთანასწორობიდან

ანუ, რაც არ უნდა დიდი იყოს დადებითი M, ან უზრუნველყოფს უტოლობის შესრულებას.

ექსტრემალური ფუნქცია.

ფუნქცია აქვს წერტილში თან ლოკალური მაქსიმუმი (მინიმუმი) თუ არის ამ წერტილის ისეთი მეზობლობა რომ x¹ თან ეს უბანი აკმაყოფილებს უთანასწორობას

განსაკუთრებით, რომ უკიდურესი წერტილი შეიძლება იყოს მხოლოდ უფსკრულის შიდა წერტილი და მასში უნდა განისაზღვროს f(x). ექსტრემის არარსებობის შესაძლო შემთხვევები ნაჩვენებია ნახ. 8.8.

თუ ფუნქცია იზრდება (მცირდება) რაღაც ინტერვალზე და მცირდება (იზრდება) რაღაც ინტერვალზე, მაშინ წერტილი თან არის ადგილობრივი მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილი.

f(x) ფუნქციის მაქსიმუმის არარსებობა წერტილში თან შეიძლება ჩამოყალიბდეს ასე:

_______________________

f(x) აქვს მაქსიმუმი c-ზე

ეს ნიშნავს, რომ თუ წერტილი c არ არის ლოკალური მაქსიმალური წერტილი, მაშინ არ აქვს მნიშვნელობა რა სამეზობლოა, რომელიც მოიცავს c წერტილს, როგორც შიდა ერთს, არის x-ის მინიმუმ ერთი მნიშვნელობა, რომელიც არ უდრის c-ს, რისთვისაც . ამგვარად, თუ c წერტილში არ არის მაქსიმუმი, მაშინ ამ მომენტში შეიძლება საერთოდ არ იყოს ექსტრემუმი, ან იყოს მინიმალური წერტილი (ნახ. 8.9).

ექსტრემის კონცეფცია იძლევა ფუნქციის მნიშვნელობის შედარებით შეფასებას ნებისმიერ წერტილში ახლომდებარე ფუნქციებთან მიმართებაში. ფუნქციის მნიშვნელობების მსგავსი შედარება შეიძლება გაკეთდეს გარკვეული ინტერვალის ყველა წერტილისთვის.

ფუნქციის უდიდესი (მინიმალური) მნიშვნელობა სიმრავლეზე არის მისი მნიშვნელობა ამ სიმრავლიდან ისეთ წერტილში, რომ – for . ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა მიიღწევა სეგმენტის შიდა წერტილში, ხოლო ყველაზე პატარა – მის მარცხენა ბოლოში.

სეგმენტზე მოცემული ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობის დასადგენად, აუცილებელია მისი მაქსიმუმების (მინიმუმების) ყველა სიდიდეებს შორის ავირჩიოთ ყველაზე დიდი (უმცირესი) რიცხვი, ისევე როგორც ინტერვალის ბოლოები. ეს იქნება ფუნქციის ყველაზე დიდი (უმცირესი) მნიშვნელობა. ეს წესი მოგვიანებით დაზუსტდება.

ღია ინტერვალზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის პრობლემა ყოველთვის არ არის ადვილად გადაჭრილი. მაგალითად, ფუნქცია

ინტერვალში (სურ. 8.11) არ აქვს ისინი.

მოდით დავრწმუნდეთ, მაგალითად, რომ ამ ფუნქციას არ აქვს უდიდესი მნიშვნელობა. მართლაც, ფუნქციის ერთფეროვნების გათვალისწინებით, შეიძლება ითქვას, რომ რაც არ უნდა ახლოს დავაყენოთ x-ის მნიშვნელობები ერთიანობის მარცხნივ, იქნება სხვა x, რომელშიც ფუნქციის მნიშვნელობები იქნება მეტი. მისი მნიშვნელობები მოცემულ ფიქსირებულ წერტილებზე, მაგრამ მაინც ნაკლებია ვიდრე ერთიანობა.

გაითვალისწინეთ, რომ ყველა განმარტება მოიცავს X რიცხვით სიმრავლეს, რომელიც არის ფუნქციის დომენის ნაწილი: X ერთად D(f). პრაქტიკაში ყველაზე ხშირად არის შემთხვევები, როდესაც X არის რიცხვითი ინტერვალი (სეგმენტი, ინტერვალი, სხივი და ა.შ.).

განმარტება 1.

ფუნქცია y \u003d f (x) ეწოდება X სიმრავლის გაზრდას D (f)-ით, თუ X სიმრავლის ნებისმიერი ორი წერტილისთვის x 1 და x 2 ისეთი, რომ x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

განმარტება 2.

ფუნქცია y \u003d f (x) ეწოდება კლებადობას X სიმრავლეზე D (f)-ით, თუ X სიმრავლის ორი წერტილის x 1 და x 2 რომელიმე ერთფეროვნების შემთხვევაში, x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x2).

პრაქტიკაში უფრო მოსახერხებელია შემდეგი ფორმულირების გამოყენება: ფუნქცია იზრდება, თუ არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო დიდ მნიშვნელობას; ფუნქცია მცირდება, თუ არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის მცირე მნიშვნელობას.

მე-7 და მე-8 კლასებში გამოვიყენეთ ფუნქციების გაზრდის ან კლების ცნებების შემდეგი გეომეტრიული ინტერპრეტაცია: მზარდი ფუნქციის გრაფიკის გასწვრივ მარცხნიდან მარჯვნივ გადაადგილებით, ერთგვარად ავდივართ გორაზე (სურ. 55); მარცხნიდან მარჯვნივ მარცხნიდან მარჯვნივ კლებადი ფუნქციის გრაფიკის გასწვრივ მოძრაობა, თითქოს გორაკზე ჩამოვდიოდით (სურ. 56).
როგორც წესი, ტერმინები „გაზრდის ფუნქცია“, „კლებადი ფუნქცია“ გაერთიანებულია საერთო სახელწოდებით მონოტონური ფუნქცია, ხოლო გაზრდის ან შემცირების ფუნქციის შესწავლას ეწოდება ფუნქციის შესწავლა ერთფეროვნებისთვის.

ჩვენ აღვნიშნავთ კიდევ ერთ გარემოებას: თუ ფუნქცია იზრდება (ან მცირდება) მის ბუნებრივ დომენში, მაშინ ჩვეულებრივ ამბობენ, რომ ფუნქცია იზრდება (ან მცირდება) - X რიცხვითი ნაკრების მითითების გარეშე.

მაგალითი 1

შეამოწმეთ ფუნქცია ერთფეროვნებისთვის:

ა) y \u003d x 3 + 2; ბ) y \u003d 5 - 2x.

გამოსავალი:

ა) აიღეთ არგუმენტების თვითნებური მნიშვნელობები x 1 და x 2 და მოდით x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

ბოლო უტოლობა ნიშნავს, რომ f(x1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

ასე რომ, x 1-დან< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), რაც ნიშნავს, რომ მოცემული ფუნქცია მცირდება (მთელ რიცხვთა წრფეზე).

განმარტება 3.

ფუნქცია y - f(x) ეწოდება X სიმრავლის ქვემოდან შეზღუდულს D (f)-ით, თუ X სიმრავლეში ფუნქციის ყველა მნიშვნელობა აღემატება გარკვეულ რიცხვს (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ არის რიცხვი. m ისეთი, რომ ნებისმიერი x є X მნიშვნელობისთვის უტოლობა f( x) >m).

განმარტება 4.

ფუნქცია y \u003d f (x) ეწოდება X სიმრავლის ზემოდან შეზღუდულს D (f)-ით, თუ ფუნქციის ყველა მნიშვნელობა ნაკლებია გარკვეულ რიცხვზე (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ არის რიცხვი M ისეთი, რომ ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის x є X უტოლობა f (x)< М).

თუ X სიმრავლე არ არის მითითებული, მაშინ ვარაუდობენ, რომ ფუნქცია შემოსაზღვრულია ქვემოდან ან ზემოდან განსაზღვრების მთელ დომენში.

თუ ფუნქცია შემოსაზღვრულია როგორც ქვემოდან, ასევე ზემოდან, მაშინ მას შეზღუდული ეწოდება.

ფუნქციის შეზღუდულობა ადვილად იკითხება მისი გრაფიკიდან: თუ ფუნქცია შემოსაზღვრულია ქვემოდან, მაშინ მისი გრაფიკი მთლიანად განლაგებულია ჰორიზონტალური ხაზის ზემოთ y \u003d m (ნახ. 57); თუ ფუნქცია შემოსაზღვრულია ზემოდან, მაშინ მისი გრაფიკი მთლიანად მდებარეობს ჰორიზონტალური ხაზის ქვემოთ y \u003d M (ნახ. 58).

მაგალითი 2გამოიკვლიეთ ფუნქცია შეზღუდულობისთვის
გამოსავალი.ერთის მხრივ, უთანასწორობა საკმაოდ აშკარაა (განმარტებით კვადრატული ფესვიეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია შემოსაზღვრულია ქვემოდან. მეორე მხრივ, გვაქვს და ამიტომ
ეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია შემოსაზღვრულია ზემოდან. ახლა გადახედეთ მოცემული ფუნქციის გრაფიკს (ნახ. 52 წინა აბზაციდან). ფუნქციის შეზღუდულობა როგორც ზემოდან, ისე ქვემოდან საკმაოდ მარტივად იკითხება გრაფიკიდან.

განმარტება 5.

რიცხვს m ეწოდება y \u003d f (x) ფუნქციის უმცირეს მნიშვნელობას X C D (f) სიმრავლეზე, თუ:

1) X-ში არის x 0 წერტილი, რომ f(x 0) = m;

2) ყველა x-ისთვის X-დან სრულდება უტოლობა m>f(х 0).

განმარტება 6.

რიცხვს M ეწოდება y \u003d f (x) ფუნქციის უდიდეს მნიშვნელობას X C D (f) სიმრავლეზე, თუ:
1) X-ში არის x 0 წერტილი, რომ f(x 0) = M;
2) ყველა x-ისთვის X-დან, უტოლობა
ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა მე-7 და მე-8 კლასებში აღვნიშნეთ y სიმბოლოთი, ხოლო უდიდესი მნიშვნელობა y სიმბოლოთი.

თუ X სიმრავლე არ არის მითითებული, მაშინ გასაგებია, რომ ჩვენ ვსაუბრობთ ფუნქციის უმცირესი ან უდიდესი მნიშვნელობის პოვნაზე განსაზღვრების მთელ დომენში.

შემდეგი სასარგებლო განცხადებები საკმაოდ აშკარაა:

1) თუ ფუნქციას აქვს Y, მაშინ ის შემოსაზღვრულია ქვემოდან.
2) თუ ფუნქციას აქვს Y, მაშინ ის შემოსაზღვრულია ზემოდან.
3) თუ ფუნქცია არ არის შემოსაზღვრული ქვემოთ, მაშინ Y არ არსებობს.
4) თუ ფუნქცია არ არის შემოსაზღვრული ზემოდან, მაშინ Y არ არსებობს.

მაგალითი 3

იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები
გამოსავალი.

სავსებით აშკარაა, განსაკუთრებით თუ მიმართავთ ფუნქციის გრაფიკს (ნახ. 52), რომ = 0 (ფუნქცია ამ მნიშვნელობას აღწევს x = -3 და x = 3 წერტილებში), a = 3 (ფუნქცია აღწევს ეს მნიშვნელობა x = 0 წერტილში.
მე-7 და მე-8 კლასში აღვნიშნეთ ფუნქციების კიდევ ორი ​​თვისება. პირველს ეწოდა ფუნქციის ამოზნექილი თვისება. ითვლება, რომ ფუნქცია ამოზნექილია ქვევით X ინტერვალზე, თუ მისი გრაფის რომელიმე ორი წერტილის (X-დან აბსცისებით) სწორხაზოვან სეგმენტთან შეერთებით აღმოვაჩენთ, რომ გრაფიკის შესაბამისი ნაწილი დევს შედგენილი სეგმენტის ქვემოთ ( სურ. 59). უწყვეტობა ფუნქცია ამოზნექილია ზევით X ინტერვალზე, თუ მისი გრაფის რომელიმე ორი წერტილის (X-დან აბსცისებით) სწორხაზოვანი სეგმენტით შეერთებით აღმოვაჩენთ, რომ გრაფიკის შესაბამისი ნაწილი დევს დახატული სეგმენტის ზემოთ (ნახ. 60). ).

მეორე თვისება - ფუნქციის უწყვეტობა X ინტერვალზე - ნიშნავს, რომ X ინტერვალზე ფუნქციის გრაფიკი უწყვეტია, ე.ი. არ აქვს პუნქცია და ნახტომი.

კომენტარი.

სინამდვილეში, მათემატიკაში ყველაფერი, როგორც ამბობენ, "ზუსტად საპირისპიროა": ფუნქციის გრაფიკი გამოსახულია მყარი ხაზის სახით (პუნქციებისა და ნახტომების გარეშე) მხოლოდ მაშინ, როდესაც დადასტურდება ფუნქციის უწყვეტობა. მაგრამ ფუნქციის უწყვეტობის ოფიციალური განმარტება, რომელიც საკმაოდ რთული და დახვეწილია, ჯერ კიდევ სცილდება ჩვენს შესაძლებლობებს. იგივე შეიძლება ითქვას ფუნქციის ამოზნექილობაზე. ფუნქციების ამ ორი თვისების განხილვისას, ჩვენ გავაგრძელებთ ვიზუალურ-ინტუიტურ წარმოდგენებს.

ახლა გადავხედოთ ჩვენს ცოდნას. გავიხსენოთ ფუნქციები, რომლებიც ვისწავლეთ მე-7 და მე-8 კლასებში, განვმარტავთ, როგორ გამოიყურება მათი გრაფიკები და ჩამოვთვლით ფუნქციის თვისებებს გარკვეული თანმიმდევრობის დაცვით, მაგალითად: განსაზღვრების დომენი; ერთფეროვანი; შეზღუდვა; , ; უწყვეტობა; ღირებულებების დიაპაზონი; ამოზნექილი.

შემდგომში გამოჩნდება ფუნქციების ახალი თვისებები და შესაბამისად შეიცვლება თვისებების სია.

1. მუდმივი ფუნქცია y \u003d C

y \u003d C ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია ნახ. 61 - სწორი ხაზი, x-ღერძის პარალელურად. ეს ისეთი უინტერესო ფუნქციაა, რომ მისი თვისებების ჩამოთვლას აზრი არ აქვს.

y \u003d kx + m ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი (ნახ. 62, 63).

y \u003d kx + m ფუნქციის თვისებები:

1)
2) იზრდება, თუ k > 0 (ნახ. 62), მცირდება, თუ k< 0 (рис. 63);

4) არ არსებობს არც ყველაზე დიდი და არც უმცირესი მნიშვნელობები;
5) ფუნქცია უწყვეტია;
6)
7) ამოზნექილზე ლაპარაკს აზრი არ აქვს.

y \u003d kx 2 ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა, რომელსაც აქვს წვერო სათავეში და ტოტებით მიმართული ზემოთ, თუ k\u003e O (ნახ. 64), და ქვევით, თუ k.< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

y - kx 2 ფუნქციის თვისებები:

შემთხვევისთვის k > 0 (ნახ. 64):

1) D(f) = (-ოო,+ოო);


4) = არ არსებობს;
5) უწყვეტი;
6) Е(f) = ფუნქცია მცირდება, ხოლო ინტერვალზე მცირდება სხივზე;
7) ამოზნექილი ზემოთ.

y \u003d f (x) ფუნქციის გრაფიკი აგებულია წერტილი-პუნქტით; რაც უფრო მეტ წერტილს ავიღებთ ფორმის (x; f (x)), მით უფრო ზუსტ იდეას მივიღებთ გრაფიკის შესახებ. თუ ამ პუნქტებიდან ბევრს ავიღებთ, მაშინ გრაფიკის იდეა უფრო სრულყოფილი იქნება. სწორედ ამ შემთხვევაში ინტუიცია გვეუბნება, რომ გრაფიკი უნდა იყოს დახატული, როგორც მყარი ხაზი (ამ შემთხვევაში, როგორც პარაბოლა). და შემდეგ, გრაფიკის წაკითხვისას, ჩვენ გამოვიტანთ დასკვნებს ფუნქციის უწყვეტობის შესახებ, მისი ამოზნექილი ქვევით ან ზემოთ, ფუნქციის დიაპაზონის შესახებ. თქვენ უნდა გესმოდეთ, რომ ჩამოთვლილი შვიდი თვისებიდან მხოლოდ თვისებები 1), 2), 3), 4) არის "ლეგიტიმური" იმ გაგებით, რომ ჩვენ შეგვიძლია მათი დასაბუთება ზუსტი განმარტებების მითითებით. ჩვენ გვაქვს მხოლოდ ვიზუალურ-ინტუიციური წარმოდგენები დარჩენილი თვისებების შესახებ. სხვათა შორის, ამაში ცუდი არაფერია. მათემატიკის განვითარების ისტორიიდან ცნობილია, რომ კაცობრიობა ხშირად და დიდი ხნის განმავლობაში იყენებდა გარკვეული ობიექტების სხვადასხვა თვისებებს, არ იცოდა ზუსტი განმარტებები. შემდეგ, როცა ასეთი განმარტებების ჩამოყალიბება შეიძლებოდა, ყველაფერი თავის ადგილზე დადგა.

ფუნქციის გრაფიკი არის ჰიპერბოლა, კოორდინატთა ღერძები ემსახურება ჰიპერბოლის ასიმპტოტებს (სურ. 66, 67).

1) D(f) = (-00.0)1U (0.+oo);
2) თუ k > 0, მაშინ ფუნქცია მცირდება ღია სხივზე (-oo, 0) და ღია სხივზე (0, +oo) (სურ. 66); თუ უნდა< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) არ არის შეზღუდული არც ქვემოდან და არც ზემოდან;
4) არ არსებობს არც უმცირესი და არც უდიდესი მნიშვნელობები;
5) ფუნქცია უწყვეტია ღია სხივზე (-oo, 0) და ღია სხივზე (0, +oo);
6) E(f) = (-oo, 0) U (0, + oo);
7) თუ k > 0, მაშინ ფუნქცია ამოზნექილია ზევით x-ზე< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, ე.ი. ღია სხივზე (0, +oo) (სურ. 66). თუ უნდა< 0, то функция выпукла вверх при х >o და ამოზნექილი x-ზე< О (рис. 67).
ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლის განშტოება (სურ. 68). ფუნქციის თვისებები:
1) D(f) = , იზრდება სხივზე )